Chapitre 18 – Filtres linéaires
On obtient alors les courbes de la figure 18.43 tracées pour les trois valeurs de Q :
0,2 ; 1/
√
2 et 5 et H 0 = 1.
On s’aperçoit que, pour un facteur de qualité élevé, la courbe est beaucoup plus
resserrée autour de v 0 (x = 1). Le filtre rejette les signaux de pulsation proche de v 0
mais laisse passer les autres.
d) Bande rejetée
À l’image de la bande passante déterminée pour un filtre passe-bande, on définit la
bande rejetée à −3 dB comme l’intervalle de pulsation dans lequel :
H(v)
H max
√
2
ou
G dB (v) G dB,max − 3 dB
Ici H max = |H 0 | donc on cherche les deux pulsations (appelées aussi pulsations de
coupure) telles que H(v) = 1/
√
2. En utilisant la variable réduite x :
|H 0 ||1 − x
2
|
(1 − x 2 ) 2 +
x
Q
2
=
|H 0 |
√
2
soit en élevant au carré et en effectuant les produits en croix :
2(1 − x
2 )
2 = (1 − x
2 )
2 +
x
2
Q 2 ⇔ (1 − x
2 )
2 =
x
2
Q 2
À cette étape du calcul, il ne faut absolument pas développer les expressions précédentes mais prendre la racine carrée ou factoriser. On obtient alors deux équations du
second degré à résoudre :
(a) 1 − x
2 =
x
Q
,
(b) 1 − x
2 = −
x
Q
.
La première admet comme solutions :
x =
v
v 0
= −
1
2Q
±
1
2
1
Q 2 + 4
et la deuxième :
x =
v
v 0
= +
1
2Q
±
1
2
1
Q 2 + 4
En ne gardant que les deux solutions positives, on trouve les deux pulsations de coupure (identiques à celles du filtre passe-bande) :
v b = v 0
−
1
2Q
+
1
2
1
Q 2 + 4
et v h = v 0
1
2Q
+
1
2
1
Q 2 + 4
(18.24)
434
On obtient alors les courbes de la figure 18.43 tracées pour les trois valeurs de Q :
0,2 ; 1/
√
2 et 5 et H 0 = 1.
On s’aperçoit que, pour un facteur de qualité élevé, la courbe est beaucoup plus
resserrée autour de v 0 (x = 1). Le filtre rejette les signaux de pulsation proche de v 0
mais laisse passer les autres.
d) Bande rejetée
À l’image de la bande passante déterminée pour un filtre passe-bande, on définit la
bande rejetée à −3 dB comme l’intervalle de pulsation dans lequel :
H(v)
H max
√
2
ou
G dB (v) G dB,max − 3 dB
Ici H max = |H 0 | donc on cherche les deux pulsations (appelées aussi pulsations de
coupure) telles que H(v) = 1/
√
2. En utilisant la variable réduite x :
|H 0 ||1 − x
2
|
(1 − x 2 ) 2 +
x
Q
2
=
|H 0 |
√
2
soit en élevant au carré et en effectuant les produits en croix :
2(1 − x
2 )
2 = (1 − x
2 )
2 +
x
2
Q 2 ⇔ (1 − x
2 )
2 =
x
2
Q 2
À cette étape du calcul, il ne faut absolument pas développer les expressions précédentes mais prendre la racine carrée ou factoriser. On obtient alors deux équations du
second degré à résoudre :
(a) 1 − x
2 =
x
Q
,
(b) 1 − x
2 = −
x
Q
.
La première admet comme solutions :
x =
v
v 0
= −
1
2Q
±
1
2
1
Q 2 + 4
et la deuxième :
x =
v
v 0
= +
1
2Q
±
1
2
1
Q 2 + 4
En ne gardant que les deux solutions positives, on trouve les deux pulsations de coupure (identiques à celles du filtre passe-bande) :
v b = v 0
−
1
2Q
+
1
2
1
Q 2 + 4
et v h = v 0
1
2Q
+
1
2
1
Q 2 + 4
(18.24)
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