Chapitre 18 – Filtres linéaires
d) Étude de la phase
On fait l’étude dans le cas H 0 = 1. On commence par calculer les équivalents de H
en T.B.F. et T.H.F.
• En T.B.F., x 1 et, en ne gardant que le terme de plus bas degré en x au
dénominateur, on trouve H
jx
Q
. Ainsi l’argument de H est w =
p
2
.
• En T.H.F., x 1 et, en ne gardant que le terme de plus haut degré en x au
dénominateur, on trouve H
jx
−x 2 Q
donc w = −
p
2
.
Attention comme pour les filtres précédents au cas où H 0 est différent de 1 : s’il
est positif, le résultat n’est pas modifié ; s’il est négatif, il faut ajouter p aux phases
déterminées ci-dessus.
Il semble donc que la phase soit comprise entre p/2 et −p/2, ce que va confirmer
l’étude complète. En utilisant les mêmes notations que précédemment, w = w N − w D
avec w N =
p
2
et :
tan w D =
x
Q(1 − x 2 )
log(x)
0
−1
−2
1
2
w (en radians)
p/2
−p/2
Figure 18.39 Diagramme de Bode en
phase d’un filtre passe-bande du second
ordre pour différentes valeurs du facteur
de qualité : pointillés : Q = 5, trait
plein : Q = 1/
√
2, croix : Q = 0,2.
L’étude de w D est encore la même
que pour le filtre passe-bas du
deuxième ordre. sin w D est positif donc
0 < w D < p et −
p
2
< w <
p
2
.
• Lorsque x → 0, tan w D → 0 par
valeur positive donc w D → 0 et
w =
p
2
− w D →
p
2
.
• Lorsque x → ∞, tan w D → 0 par
valeur négative donc w D → p et
w → −
p
2
.
On retrouve les valeurs limites de w
déterminées précédemment.
D’autre part, pour v = v 0 ou x = 1,
tan w D → ∞ donc w D =
p
2
et w = 0.
Le déphasage est nul à la résonance du filtre passe-bande.
Dans le cas général, si H 0 est négatif, le déphasage est égal à p à la résonance.
Comme pour le filtre passe-bas, on pourrait démontrer par une étude de la dérivée de
la fonction w que sa variation en fonction de la pulsation est monotone. On obtient la
courbe de la figure 18.39 tracée pour les trois mêmes valeurs de Q que précédemment.
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d) Étude de la phase
On fait l’étude dans le cas H 0 = 1. On commence par calculer les équivalents de H
en T.B.F. et T.H.F.
• En T.B.F., x 1 et, en ne gardant que le terme de plus bas degré en x au
dénominateur, on trouve H
jx
Q
. Ainsi l’argument de H est w =
p
2
.
• En T.H.F., x 1 et, en ne gardant que le terme de plus haut degré en x au
dénominateur, on trouve H
jx
−x 2 Q
donc w = −
p
2
.
Attention comme pour les filtres précédents au cas où H 0 est différent de 1 : s’il
est positif, le résultat n’est pas modifié ; s’il est négatif, il faut ajouter p aux phases
déterminées ci-dessus.
Il semble donc que la phase soit comprise entre p/2 et −p/2, ce que va confirmer
l’étude complète. En utilisant les mêmes notations que précédemment, w = w N − w D
avec w N =
p
2
et :
tan w D =
x
Q(1 − x 2 )
log(x)
0
−1
−2
1
2
w (en radians)
p/2
−p/2
Figure 18.39 Diagramme de Bode en
phase d’un filtre passe-bande du second
ordre pour différentes valeurs du facteur
de qualité : pointillés : Q = 5, trait
plein : Q = 1/
√
2, croix : Q = 0,2.
L’étude de w D est encore la même
que pour le filtre passe-bas du
deuxième ordre. sin w D est positif donc
0 < w D < p et −
p
2
< w <
p
2
.
• Lorsque x → 0, tan w D → 0 par
valeur positive donc w D → 0 et
w =
p
2
− w D →
p
2
.
• Lorsque x → ∞, tan w D → 0 par
valeur négative donc w D → p et
w → −
p
2
.
On retrouve les valeurs limites de w
déterminées précédemment.
D’autre part, pour v = v 0 ou x = 1,
tan w D → ∞ donc w D =
p
2
et w = 0.
Le déphasage est nul à la résonance du filtre passe-bande.
Dans le cas général, si H 0 est négatif, le déphasage est égal à p à la résonance.
Comme pour le filtre passe-bas, on pourrait démontrer par une étude de la dérivée de
la fonction w que sa variation en fonction de la pulsation est monotone. On obtient la
courbe de la figure 18.39 tracée pour les trois mêmes valeurs de Q que précédemment.
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