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Filtres du deuxième ordre (PCSI, PTSI)
• Pour v v 0 , donc pour x 1, on ne garde que le terme de plus haut degré du
dénominateur donc
(x 2 ) 2 = x
2 . G dB se comporte alors comme son asymptote :
G
a2
dB = G 0 + 20 log
x
Qx 2 = G 0 − 20 log x − 20 log Q
Puisque il y a un facteur −20 devant log x l’asymptote est une droite de pente
−20 dB/déc.
Les asymptotes se croisent pour G
a1
dB = G
a2
dB , soit , 20 log
x
Q
= 20 log
1
xQ
donc
x = 1 ou encore v = v 0 . L’ordonnée des asymptotes à leur croisement est
G
a1
dB (x = 1) = G 0 − 20 log Q et dépend du facteur de qualité. S’il est supérieur à 1,
le croisement s’effectue pour une ordonnée inférieure à G 0 , et si Q est inférieur à 1,
le croisement s’effectue pour une ordonnée supérieure à G 0 .
On a vu au paragraphe précédent que la résonance a lieu pour x = 1 et qu’alors
H = H 0 donc G dB (x = 1) = G 0 . Par conséquent, quel que soit le facteur de qualité,
le maximum est le même.
G dB
log(x)
0
0,5
1
−0,5
−1
10
−10
−20
−30
Figure 18.38 Diagramme de Bode en
gain d’un filtre passe-bande du second
ordre pour différentes valeurs du
facteur de qualité : pointillés : Q = 5,
trait plein : Q = 1/
√
2, croix :
Q = 0,2.
On obtient alors les courbes de la figure
18.38 tracées pour les trois valeurs de Q :
0,2 ; 1/
√
2 et 5 et H 0 = 1.
On s’aperçoit que pour un facteur de
qualité élevé, la courbe est beaucoup plus
resserrée autour de v 0 (x = 1). Le filtre
est dans ce cas dit sélectif , c’est-à-dire
qu’il laisse passer les signaux de pulsation proche de v 0 mais atténue les autres.
La largeur de la bande passante a été
déterminée dans le chapitre sur l’étude
des circuits R, L, C série, on rappelle son
expression :
Dv =
v 0
Q
Cette expression confirme la conclusion
précédente tirée de l’allure de la courbe :
plus Q est grand, plus la bande passante
est étroite.
➤ Remarque : On voit sur la figure 18.38 et on peut établir par le calcul que la courbe
réelle est au-dessus de ses asymptotes pour Q > 1 et en-dessous pour Q 1.
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Filtres du deuxième ordre (PCSI, PTSI)
• Pour v v 0 , donc pour x 1, on ne garde que le terme de plus haut degré du
dénominateur donc
(x 2 ) 2 = x
2 . G dB se comporte alors comme son asymptote :
G
a2
dB = G 0 + 20 log
x
Qx 2 = G 0 − 20 log x − 20 log Q
Puisque il y a un facteur −20 devant log x l’asymptote est une droite de pente
−20 dB/déc.
Les asymptotes se croisent pour G
a1
dB = G
a2
dB , soit , 20 log
x
Q
= 20 log
1
xQ
donc
x = 1 ou encore v = v 0 . L’ordonnée des asymptotes à leur croisement est
G
a1
dB (x = 1) = G 0 − 20 log Q et dépend du facteur de qualité. S’il est supérieur à 1,
le croisement s’effectue pour une ordonnée inférieure à G 0 , et si Q est inférieur à 1,
le croisement s’effectue pour une ordonnée supérieure à G 0 .
On a vu au paragraphe précédent que la résonance a lieu pour x = 1 et qu’alors
H = H 0 donc G dB (x = 1) = G 0 . Par conséquent, quel que soit le facteur de qualité,
le maximum est le même.
G dB
log(x)
0
0,5
1
−0,5
−1
10
−10
−20
−30
Figure 18.38 Diagramme de Bode en
gain d’un filtre passe-bande du second
ordre pour différentes valeurs du
facteur de qualité : pointillés : Q = 5,
trait plein : Q = 1/
√
2, croix :
Q = 0,2.
On obtient alors les courbes de la figure
18.38 tracées pour les trois valeurs de Q :
0,2 ; 1/
√
2 et 5 et H 0 = 1.
On s’aperçoit que pour un facteur de
qualité élevé, la courbe est beaucoup plus
resserrée autour de v 0 (x = 1). Le filtre
est dans ce cas dit sélectif , c’est-à-dire
qu’il laisse passer les signaux de pulsation proche de v 0 mais atténue les autres.
La largeur de la bande passante a été
déterminée dans le chapitre sur l’étude
des circuits R, L, C série, on rappelle son
expression :
Dv =
v 0
Q
Cette expression confirme la conclusion
précédente tirée de l’allure de la courbe :
plus Q est grand, plus la bande passante
est étroite.
➤ Remarque : On voit sur la figure 18.38 et on peut établir par le calcul que la courbe
réelle est au-dessus de ses asymptotes pour Q > 1 et en-dessous pour Q 1.
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