© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Filtres du deuxième ordre (PCSI, PTSI)
Comme pour le filtre passe-bas, on s’arrange donc en général pour que le facteur de
qualité Q soit inférieur à 1/
√
2. Dans ce cas, les signaux de basses fréquences sont
mieux atténués qu’avec un filtre du premier ordre puisque la pente de l’asymptote est
+40 dB/déc au lieu de +20 dB/déc ; c’est-à-dire que si la fréquence est divisée par
10, l’amplitude du signal est divisée par 100 pour un passe-haut du deuxième ordre
au lieu de 10 pour un passe-haut du premier ordre.
La bande passante se calcule comme celle du filtre passe-bas.
d) Étude de la phase
log(x)
0
−1
−2
1
2
w (en radians)
p/2
p
Figure 18.34 Diagramme de Bode en
phase d’un filtre passe-haut du second
ordre pour différentes valeurs du facteur
de qualité : pointillés : Q = 5, trait
plein : Q = 1/
√
2, croix : Q = 0, 2.
On suppose dans ce paragraphe que
H 0 = 1. On commence par calculer les équivalents de H en T.B.F. et
T.H.F.
• En T.B.F., x 1 et, en ne gardant que le terme de plus bas degré
en x au dénominateur, on trouve
H −x
2 . Ainsi l’argument de H,
réel négatif , est w = −p ou w = p.
• En T.H.F., x 1 et, en ne gardant que le terme de plus haut degré
en x au dénominateur, on trouve
H
−x
2
−x 2 donc w = 0.
Attention au cas où H 0 est différent de 1 : s’il est positif, le résultat n’est pas modifié,
s’il est négatif, il faut ajouter p aux phases déterminées ci-dessus.
En utilisant les mêmes notation que précédemment, w = w N − w D avec w N = p et :
tan w D =
x
Q(1 − x 2 )
L’étude de w D est la même que pour le filtre passe-bas du deuxième ordre. sin w D est
positif donc 0 < w D < p et 0 < w < p.
• Lorsque x → 0, tan w D → 0 par valeur positive donc w D → 0 et w = p − w D → p.
• Lorsque x → ∞, tan w D → 0 par valeur négative donc w D → p et w → 0.
On retrouve les valeurs limites de w déterminées précédemment.
D’autre part, pour v = v 0 ou x = 1, tan w D → ∞ donc w D =
p
2
et w =
p
2
.
Comme pour le filtre passe-bas, on pourrait démontrer par une étude de la dérivée de
la fonction w que sa variation en fonction de la pulsation est monotone. On obtient
la courbe de la figure 18.34 tracée pour trois valeurs de Q : 0,2 ; 1/
√
2 et 5 et pour
H 0 = 1.
425
Filtres du deuxième ordre (PCSI, PTSI)
Comme pour le filtre passe-bas, on s’arrange donc en général pour que le facteur de
qualité Q soit inférieur à 1/
√
2. Dans ce cas, les signaux de basses fréquences sont
mieux atténués qu’avec un filtre du premier ordre puisque la pente de l’asymptote est
+40 dB/déc au lieu de +20 dB/déc ; c’est-à-dire que si la fréquence est divisée par
10, l’amplitude du signal est divisée par 100 pour un passe-haut du deuxième ordre
au lieu de 10 pour un passe-haut du premier ordre.
La bande passante se calcule comme celle du filtre passe-bas.
d) Étude de la phase
log(x)
0
−1
−2
1
2
w (en radians)
p/2
p
Figure 18.34 Diagramme de Bode en
phase d’un filtre passe-haut du second
ordre pour différentes valeurs du facteur
de qualité : pointillés : Q = 5, trait
plein : Q = 1/
√
2, croix : Q = 0, 2.
On suppose dans ce paragraphe que
H 0 = 1. On commence par calculer les équivalents de H en T.B.F. et
T.H.F.
• En T.B.F., x 1 et, en ne gardant que le terme de plus bas degré
en x au dénominateur, on trouve
H −x
2 . Ainsi l’argument de H,
réel négatif , est w = −p ou w = p.
• En T.H.F., x 1 et, en ne gardant que le terme de plus haut degré
en x au dénominateur, on trouve
H
−x
2
−x 2 donc w = 0.
Attention au cas où H 0 est différent de 1 : s’il est positif, le résultat n’est pas modifié,
s’il est négatif, il faut ajouter p aux phases déterminées ci-dessus.
En utilisant les mêmes notation que précédemment, w = w N − w D avec w N = p et :
tan w D =
x
Q(1 − x 2 )
L’étude de w D est la même que pour le filtre passe-bas du deuxième ordre. sin w D est
positif donc 0 < w D < p et 0 < w < p.
• Lorsque x → 0, tan w D → 0 par valeur positive donc w D → 0 et w = p − w D → p.
• Lorsque x → ∞, tan w D → 0 par valeur négative donc w D → p et w → 0.
On retrouve les valeurs limites de w déterminées précédemment.
D’autre part, pour v = v 0 ou x = 1, tan w D → ∞ donc w D =
p
2
et w =
p
2
.
Comme pour le filtre passe-bas, on pourrait démontrer par une étude de la dérivée de
la fonction w que sa variation en fonction de la pulsation est monotone. On obtient
la courbe de la figure 18.34 tracée pour trois valeurs de Q : 0,2 ; 1/
√
2 et 5 et pour
H 0 = 1.
425