Chapitre 18 – Filtres linéaires
➤ Remarque : Comme pour les autres filtres, si on réalise un circuit différent du R, L, C
série et qu’il se comporte en passe-bas, la forme canonique sera inchangée mais les
expressions de v 0 et Q seront différentes de celles du circuit R, L, C série.
c) Étude du gain
Si on utilise la variable réduite x, le gain en décibels est donné par l’expression :
G dB = G 0 + 20 log
x
2
(1 − x 2 ) 2 +
x
Q
2
avec G 0 = 20 log |H 0 |.
On commence par étudier les comportements asymptotiques. Ici, la pulsation de référence est v 0 .
• Pour v v 0 , soit x 1, on ne garde que le terme de plus bas degré du dénominateur donc 1. G dB se comporte alors comme son asymptote :
G
a1
dB = G 0 + 20 log x
2 = G 0 + 40 log x
Puisqu’il y a un facteur 40 devant log x, l’asymptote est une droite de pente
40 dB/déc.
G dB
log(x)
0
0, 5
1
−0, 5
−1
10
−40
−10
−20
−30
Figure 18.33 Diagramme de
Bode en gain d’un filtre
passe-haut du second ordre
pour différentes valeurs du
facteur de qualité : pointillés :
Q = 5, trait plein : Q = 1/
√
2,
croix : Q = 0,2.
• Pour v v 0 , soit x 1, on
garde le terme de plus haut degré du
dénominateur donc
(x 2 ) 2 = x
2 . G dB
se comporte alors comme son asymptote
G
a2
dB = G 0 − 20 log
x
2
x 2
= G 0 .
Les asymptotes se croisent pour G
a1
dB = G
a2
dB
soit 40 log x = 0 donc x = 1 ou encore
v = v 0 .
Comme pour l’étude de la tension aux bornes
du condensateur, on peut établir qu’il y a
une résonance si Q est supérieur à 1/
√
2
pour une pulsation plus grande que v 0 ,
v r = v 0
1
1 −
1
2Q 2
. On obtient alors les
courbes de la figure 18.33 tracées pour les trois
valeurs de Q : 0,2 ; 1/
√
2 et 5 et pour H 0 = 1.
L’intérêt d’un filtre passe-haut est d’atténuer les basses fréquences ; or s’il y a résonance, on voit sur la figure que la courbe réelle rejoint moins rapidement l’asymptote.
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➤ Remarque : Comme pour les autres filtres, si on réalise un circuit différent du R, L, C
série et qu’il se comporte en passe-bas, la forme canonique sera inchangée mais les
expressions de v 0 et Q seront différentes de celles du circuit R, L, C série.
c) Étude du gain
Si on utilise la variable réduite x, le gain en décibels est donné par l’expression :
G dB = G 0 + 20 log
x
2
(1 − x 2 ) 2 +
x
Q
2
avec G 0 = 20 log |H 0 |.
On commence par étudier les comportements asymptotiques. Ici, la pulsation de référence est v 0 .
• Pour v v 0 , soit x 1, on ne garde que le terme de plus bas degré du dénominateur donc 1. G dB se comporte alors comme son asymptote :
G
a1
dB = G 0 + 20 log x
2 = G 0 + 40 log x
Puisqu’il y a un facteur 40 devant log x, l’asymptote est une droite de pente
40 dB/déc.
G dB
log(x)
0
0, 5
1
−0, 5
−1
10
−40
−10
−20
−30
Figure 18.33 Diagramme de
Bode en gain d’un filtre
passe-haut du second ordre
pour différentes valeurs du
facteur de qualité : pointillés :
Q = 5, trait plein : Q = 1/
√
2,
croix : Q = 0,2.
• Pour v v 0 , soit x 1, on
garde le terme de plus haut degré du
dénominateur donc
(x 2 ) 2 = x
2 . G dB
se comporte alors comme son asymptote
G
a2
dB = G 0 − 20 log
x
2
x 2
= G 0 .
Les asymptotes se croisent pour G
a1
dB = G
a2
dB
soit 40 log x = 0 donc x = 1 ou encore
v = v 0 .
Comme pour l’étude de la tension aux bornes
du condensateur, on peut établir qu’il y a
une résonance si Q est supérieur à 1/
√
2
pour une pulsation plus grande que v 0 ,
v r = v 0
1
1 −
1
2Q 2
. On obtient alors les
courbes de la figure 18.33 tracées pour les trois
valeurs de Q : 0,2 ; 1/
√
2 et 5 et pour H 0 = 1.
L’intérêt d’un filtre passe-haut est d’atténuer les basses fréquences ; or s’il y a résonance, on voit sur la figure que la courbe réelle rejoint moins rapidement l’asymptote.
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