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Filtres du deuxième ordre (PCSI, PTSI)
L’intérêt d’un filtre passe-bas est d’atténuer les hautes fréquences ; or s’il y a résonance,
on voit sur la figure que la courbe réelle rejoint moins rapidement l’asymptote. On
s’arrange donc en général pour que le facteur de qualité Q soit inférieur à 1/
√
2.
Dans ce cas, les signaux de hautes fréquences sont mieux atténués qu’avec un filtre du
premier ordre puisque la pente de l’asymptote est −40 dB/déc au lieu de −20 dB/déc
c’est-à-dire que si la fréquence est multipliée par 10, l’amplitude du signal est divisée
par 100 pour un passe-bas du deuxième ordre au lieu de 10 pour un passe-bas du
premier ordre.
À partir de cette étude, on peut désigner Q et v 0 par d’autres termes que « facteur de
qualité » et « pulsation propre » : on donne à Q le nom de facteur de forme, car c’est de
sa valeur que dépend la forme de la courbe et à v 0 le nom de facteur d’échelle car c’est
de sa valeur que dépend la position des asymptotes.
La détermination de la bande passante a été faite dans le chapitre sur l’étude du circuit
R, L, C série.
d) Étude de la phase
On suppose que H 0 = 1. On commence par calculer les équivalents de H en T.B.F.
et T.H.F..
• En T.B.F., x 1 et, en ne gardant que le terme de plus bas degré en x, on trouve
H 1. Ainsi l’argument de H réel positif est w = 0.
• En T.H.F., x 1 et, en ne gardant que le terme de plus haut degré en x, on
trouve H
−1
x 2 . Il y a donc une indétermination puisqu’on ne sait pas si w = p
ou w = −p. Il faut donc étudier plus précisément l’intervalle de variation de w.
Attention au cas où H 0 est différent de 1 : s’il est positif, le résultat n’est pas modifié ;
s’il est négatif, il faut ajouter p aux phases déterminées ci-dessus.
En utilisant les mêmes notations que pour les filtres du premier ordre, w = w N − w D .
Or w N = 0 donc :
tan w D =
x
Q(1 − x 2 )
Ici, il est plus intéressant de regarder le signe de sin w D qui est constant alors que le
signe du cosinus change. sin w D est positif donc 0 < w D < p et −p < w < 0. Cette
étude permet de lever l’indétermination de l’étude T.H.F. On retrouve que :
• lorsque x → 0, tan w D → 0 par valeur positive donc w D → 0,
• lorsque x → ∞, tan w D → 0 par valeur négative donc w D → p.
On retrouve les valeurs limites de w déterminées précédemment.
D’autre part, pour v = v 0 ou x = 1, tan w D → ∞ donc w D =
p
2
et w = −
p
2
.
On pourrait démontrer par une étude de la dérivée de la fonction w(x) que sa variation
en fonction de la pulsation est monotone. On obtient la courbe de la figure 18.29
421
Filtres du deuxième ordre (PCSI, PTSI)
L’intérêt d’un filtre passe-bas est d’atténuer les hautes fréquences ; or s’il y a résonance,
on voit sur la figure que la courbe réelle rejoint moins rapidement l’asymptote. On
s’arrange donc en général pour que le facteur de qualité Q soit inférieur à 1/
√
2.
Dans ce cas, les signaux de hautes fréquences sont mieux atténués qu’avec un filtre du
premier ordre puisque la pente de l’asymptote est −40 dB/déc au lieu de −20 dB/déc
c’est-à-dire que si la fréquence est multipliée par 10, l’amplitude du signal est divisée
par 100 pour un passe-bas du deuxième ordre au lieu de 10 pour un passe-bas du
premier ordre.
À partir de cette étude, on peut désigner Q et v 0 par d’autres termes que « facteur de
qualité » et « pulsation propre » : on donne à Q le nom de facteur de forme, car c’est de
sa valeur que dépend la forme de la courbe et à v 0 le nom de facteur d’échelle car c’est
de sa valeur que dépend la position des asymptotes.
La détermination de la bande passante a été faite dans le chapitre sur l’étude du circuit
R, L, C série.
d) Étude de la phase
On suppose que H 0 = 1. On commence par calculer les équivalents de H en T.B.F.
et T.H.F..
• En T.B.F., x 1 et, en ne gardant que le terme de plus bas degré en x, on trouve
H 1. Ainsi l’argument de H réel positif est w = 0.
• En T.H.F., x 1 et, en ne gardant que le terme de plus haut degré en x, on
trouve H
−1
x 2 . Il y a donc une indétermination puisqu’on ne sait pas si w = p
ou w = −p. Il faut donc étudier plus précisément l’intervalle de variation de w.
Attention au cas où H 0 est différent de 1 : s’il est positif, le résultat n’est pas modifié ;
s’il est négatif, il faut ajouter p aux phases déterminées ci-dessus.
En utilisant les mêmes notations que pour les filtres du premier ordre, w = w N − w D .
Or w N = 0 donc :
tan w D =
x
Q(1 − x 2 )
Ici, il est plus intéressant de regarder le signe de sin w D qui est constant alors que le
signe du cosinus change. sin w D est positif donc 0 < w D < p et −p < w < 0. Cette
étude permet de lever l’indétermination de l’étude T.H.F. On retrouve que :
• lorsque x → 0, tan w D → 0 par valeur positive donc w D → 0,
• lorsque x → ∞, tan w D → 0 par valeur négative donc w D → p.
On retrouve les valeurs limites de w déterminées précédemment.
D’autre part, pour v = v 0 ou x = 1, tan w D → ∞ donc w D =
p
2
et w = −
p
2
.
On pourrait démontrer par une étude de la dérivée de la fonction w(x) que sa variation
en fonction de la pulsation est monotone. On obtient la courbe de la figure 18.29
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