Chapitre 18 – Filtres linéaires
c) Étude du gain
Si on utilise la variable réduite x, le gain en décibels est donné par l’expression :
G dB = G 0 + 20 log
1
(1 − x 2 ) 2 +
x
Q
2
avec G 0 = 20 log |H 0 |.
On commence par étudier les comportements asymptotiques. Ici la pulsation de référence est v 0 .
• Pour v v 0 , soit x 1, on ne garde que le terme de plus bas degré du dénominateur donc 1. G dB se comporte alors comme son asymptote G
a1
dB = G 0 .
• Pour v v 0 , soit x 1, on ne garde que le terme de plus haut degré du
dénominateur donc
(x 2 ) 2 = x
2 . G dB se comporte alors comme son asymptote
G
a2
dB = G 0 − 20 log x
2 = G 0 − 40 log x. Puisqu’il y a un facteur −40 devant log x,
l’asymptote est une droite de pente −40 dB/déc.
Les asymptotes se croisent pour G
a1
dB = G
a2
dB soit −40 log x = 0 donc pour x = 1 ou
encore v = v 0 .
Il a été vu dans le chapitre sur l’étude du circuit R, L, C série qu’il y a résonance si Q
est supérieur à 1/
√
2 pour une pulsation v r plus petite que v 0 , v r = v 0
1 −
1
2Q 2 .
On obtient alors les courbes de la figure 18.28 tracées pour les trois valeurs de Q :
0,2 ; 1/
√
2 et 5 et pour H 0 = 1.
G dB
log(x)
0
0, 5
1
−0, 5
−1
10
−40
−10
−20
−30
Figure 18.28 Diagramme de Bode en gain d’un filtre passe-bas du second ordre pour
différentes valeurs du facteur de qualité : pointillés : Q = 5, trait plein : Q = 1/
√
2,
croix : Q = 0,2.
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c) Étude du gain
Si on utilise la variable réduite x, le gain en décibels est donné par l’expression :
G dB = G 0 + 20 log
1
(1 − x 2 ) 2 +
x
Q
2
avec G 0 = 20 log |H 0 |.
On commence par étudier les comportements asymptotiques. Ici la pulsation de référence est v 0 .
• Pour v v 0 , soit x 1, on ne garde que le terme de plus bas degré du dénominateur donc 1. G dB se comporte alors comme son asymptote G
a1
dB = G 0 .
• Pour v v 0 , soit x 1, on ne garde que le terme de plus haut degré du
dénominateur donc
(x 2 ) 2 = x
2 . G dB se comporte alors comme son asymptote
G
a2
dB = G 0 − 20 log x
2 = G 0 − 40 log x. Puisqu’il y a un facteur −40 devant log x,
l’asymptote est une droite de pente −40 dB/déc.
Les asymptotes se croisent pour G
a1
dB = G
a2
dB soit −40 log x = 0 donc pour x = 1 ou
encore v = v 0 .
Il a été vu dans le chapitre sur l’étude du circuit R, L, C série qu’il y a résonance si Q
est supérieur à 1/
√
2 pour une pulsation v r plus petite que v 0 , v r = v 0
1 −
1
2Q 2 .
On obtient alors les courbes de la figure 18.28 tracées pour les trois valeurs de Q :
0,2 ; 1/
√
2 et 5 et pour H 0 = 1.
G dB
log(x)
0
0, 5
1
−0, 5
−1
10
−40
−10
−20
−30
Figure 18.28 Diagramme de Bode en gain d’un filtre passe-bas du second ordre pour
différentes valeurs du facteur de qualité : pointillés : Q = 5, trait plein : Q = 1/
√
2,
croix : Q = 0,2.
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