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Filtres du premier ordre
f) Étude de la phase en fonction de la pulsation
Il est intéressant de calculer les équivalents de la fonction de transfert pour déterminer
rapidement les phases en T.B.F. et T.H.F. Ainsi en T.B.F., H est équivalent à H 0 ;
c’est un réel d’argument Arg H 0 .
En T.H.F, H est équivalent à
H 0
jx
= −jH 0
v c
v
. C’est un imaginaire pur d’argument
−
p
2 + Arg H 0 .
Dans le cas général où H 0 est différent de 1, il faut faire attention à son signe :
• si H 0 est positif, Arg H 0 = 0 ;
• si H 0 est négatif, Arg H 0 = p.
On fait l’hypothèse dans la suite que H 0 est positif. Dans le cas contraire, il faut penser
à ajouter p aux résultats obtenus.
Pour faire une étude plus précise, on utilise le fait que l’argument w est égal à la
différence entre les arguments du numérateur (w N ) et du dénominateur (w D ). Soit ici
w = −w D . Or :
tan w D =
v
v c
Est-ce suffisant pour écrire que w D = arctan
v
vc ? Non, il y a une indétermination sur
w D car w D et w D + p ont même tangente. Il faut déterminer l’intervalle de longueur
p dans lequel se trouve w D . Pour cela, on regarde, par exemple, le signe de la partie
réelle de H qui est aussi le signe de cos w D . On peut aussi déterminer le signe de la
partie imaginaire si c’est plus simple ; il est de même signe que sin w D . Ici cos w D est
positif donc −
p
2 w D
p
2 . On peut alors écrire :
w = −w D = − arctan x = − arctan
v
v c
−2
−1
0
1
2
log(x)
−
p
4
−
p
2
w (en radians)
Figure 18.17 Diagramme de Bode en phase
d’un filtre passe-bas du premier ordre.
On retrouve les comportements
T.B.F. et T.H.F. déjà déterminés.
On note que pour x = 1 (soit
v = v c ), w = −
p
4
.
On obtient le graphe de la figure
18.17. On peut aussi tracer deux
diagrammes asymptotiques représentés sur la figure : l’un en
marche d’escalier et l’autre reliant
les deux asymptotes horizontales
par une droite oblique entre
v c /10 et 10 v c .
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Filtres du premier ordre
f) Étude de la phase en fonction de la pulsation
Il est intéressant de calculer les équivalents de la fonction de transfert pour déterminer
rapidement les phases en T.B.F. et T.H.F. Ainsi en T.B.F., H est équivalent à H 0 ;
c’est un réel d’argument Arg H 0 .
En T.H.F, H est équivalent à
H 0
jx
= −jH 0
v c
v
. C’est un imaginaire pur d’argument
−
p
2 + Arg H 0 .
Dans le cas général où H 0 est différent de 1, il faut faire attention à son signe :
• si H 0 est positif, Arg H 0 = 0 ;
• si H 0 est négatif, Arg H 0 = p.
On fait l’hypothèse dans la suite que H 0 est positif. Dans le cas contraire, il faut penser
à ajouter p aux résultats obtenus.
Pour faire une étude plus précise, on utilise le fait que l’argument w est égal à la
différence entre les arguments du numérateur (w N ) et du dénominateur (w D ). Soit ici
w = −w D . Or :
tan w D =
v
v c
Est-ce suffisant pour écrire que w D = arctan
v
vc ? Non, il y a une indétermination sur
w D car w D et w D + p ont même tangente. Il faut déterminer l’intervalle de longueur
p dans lequel se trouve w D . Pour cela, on regarde, par exemple, le signe de la partie
réelle de H qui est aussi le signe de cos w D . On peut aussi déterminer le signe de la
partie imaginaire si c’est plus simple ; il est de même signe que sin w D . Ici cos w D est
positif donc −
p
2 w D
p
2 . On peut alors écrire :
w = −w D = − arctan x = − arctan
v
v c
−2
−1
0
1
2
log(x)
−
p
4
−
p
2
w (en radians)
Figure 18.17 Diagramme de Bode en phase
d’un filtre passe-bas du premier ordre.
On retrouve les comportements
T.B.F. et T.H.F. déjà déterminés.
On note que pour x = 1 (soit
v = v c ), w = −
p
4
.
On obtient le graphe de la figure
18.17. On peut aussi tracer deux
diagrammes asymptotiques représentés sur la figure : l’un en
marche d’escalier et l’autre reliant
les deux asymptotes horizontales
par une droite oblique entre
v c /10 et 10 v c .
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