Chapitre 16 – Circuit R,L,C série - Résonances
c) Relative à la tension aux bornes de la bobine
La tension aux bornes de la bobine s’obtient en dérivant l’intensité i et en la multipliant
par L : u L = L
di
dt
. En procédant comme au paragraphe précédent, on en déduit
l’équation différentielle vérifiée par u L :
d
2 u L
dt 2 +
R
L
du L
dt
+
u L
LC
=
d
2 e
dt 2
1.3 Régime transitoire et régime forcé
On a déjà montré au chapitre précédent (Cf. figures 15.16) que la réponse du circuit
à une excitation sinusoïdale est la somme de la solution générale de l’équation différentielle homogène associée à l’équation différentielle et d’une solution particulière.
La première décrit le régime libre étudié en première période et la seconde le régime
permanent ou régime sinusoïdal forcé qui subsiste quand le régime libre s’est annulé.
1.4 Passage à la notation complexe
Pour la recherche du régime sinusoïdal forcé, on a vu au chapitre précédent l’intérêt de l’utilisation de la notation complexe : cette approche permet de remplacer
la résolution d’une équation différentielle par celle d’une équation algébrique sur le
corps des complexes. Il s’agit d’une simplification importante pour la résolution du
problème.
a) Expression de l’intensité et de la tension aux bornes de la résistance
En notation complexe, l’équation différentielle (16.3) s’écrit :
(jv)
2 i +
R
L
jvi +
i
LC
=
1
L
jve
soit
i =
e
R + j
Lv −
1
Cv
On obtient directement cette équation en traduisant l’équation (16.1) en notations complexes grâce aux impédances complexes.
On a l’habitude d’introduire la pulsation v 0 et le nombre sans dimension Q définis
par v 0 =
1
√
LC
et Q =
1
R
L
C
. L’expression de l’intensité complexe devient alors :
i =
e
R
1 + jQ
v
v0 −
v0
v
356
c) Relative à la tension aux bornes de la bobine
La tension aux bornes de la bobine s’obtient en dérivant l’intensité i et en la multipliant
par L : u L = L
di
dt
. En procédant comme au paragraphe précédent, on en déduit
l’équation différentielle vérifiée par u L :
d
2 u L
dt 2 +
R
L
du L
dt
+
u L
LC
=
d
2 e
dt 2
1.3 Régime transitoire et régime forcé
On a déjà montré au chapitre précédent (Cf. figures 15.16) que la réponse du circuit
à une excitation sinusoïdale est la somme de la solution générale de l’équation différentielle homogène associée à l’équation différentielle et d’une solution particulière.
La première décrit le régime libre étudié en première période et la seconde le régime
permanent ou régime sinusoïdal forcé qui subsiste quand le régime libre s’est annulé.
1.4 Passage à la notation complexe
Pour la recherche du régime sinusoïdal forcé, on a vu au chapitre précédent l’intérêt de l’utilisation de la notation complexe : cette approche permet de remplacer
la résolution d’une équation différentielle par celle d’une équation algébrique sur le
corps des complexes. Il s’agit d’une simplification importante pour la résolution du
problème.
a) Expression de l’intensité et de la tension aux bornes de la résistance
En notation complexe, l’équation différentielle (16.3) s’écrit :
(jv)
2 i +
R
L
jvi +
i
LC
=
1
L
jve
soit
i =
e
R + j
Lv −
1
Cv
On obtient directement cette équation en traduisant l’équation (16.1) en notations complexes grâce aux impédances complexes.
On a l’habitude d’introduire la pulsation v 0 et le nombre sans dimension Q définis
par v 0 =
1
√
LC
et Q =
1
R
L
C
. L’expression de l’intensité complexe devient alors :
i =
e
R
1 + jQ
v
v0 −
v0
v
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