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Circuit R,L,C série soumis à une excitation sinusoïdale
c) Tension aux bornes de la bobine
i
e
u L
L
C
R
Figure 16.3 Tension aux bornes de L.
Aux bornes de la bobine dont on néglige
la résistance interne, on aura une image
de la dérivée de l’intensité :
u L = L
di
dt
On aura l’une ou l’autre des situations suivant les positions relatives des composants
et notamment l’endroit où la masse du circuit sera imposée par le G.B.F. ou l’oscilloscope généralement reliés à la terre (Cf. chapitre sur l’instrumentation électrique).
Ainsi le dipôle aux bornes duquel on veut étudier la tension devra avoir une borne
commune avec le générateur, cette borne sera la masse du circuit (le plus souvent
reliée à la terre).
1.2 Équation différentielle
a) Relative à la tension aux bornes du condensateur
L’écriture de la loi des mailles dans le circuit donne :
e = L
di
dt
+ Ri + u C
(16.1)
Or la relation entre intensité et tension aux bornes d’une capacité est : i = C
du C
dt
,
ce qui permet d’en déduire l’équation différentielle vérifiée par u C aux bornes du
condensateur :
e = LC
d
2 u C
dt 2 + RC
du C
dt
+ u C
ou encore :
d
2 u C
dt 2 +
R
L
du C
dt
+
u C
LC
=
e
LC
(16.2)
b) Relative à l’intensité ou à la tension aux bornes de la résistance
L’intensité s’obtient par dérivation du u C et utilisation de la relation i = C
du C
dt
. On
dérive donc l’équation différentielle obtenue précédemment par rapport au temps :
d
3 u C
dt 3 +
R
L
d
2 u C
dt 2 +
1
LC
du C
dt
=
1
LC
de
dt
soit en remplaçant
du C
dt
par
i
C
:
d
2 i
dt 2 +
R
L
di
dt
+
i
LC
=
1
L
de
dt
(16.3)
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