B. Exercices et problèmes
1.
Étude de l’impédance d’un quartz piezoélectrique, d’après ENSTIM 2004
A
B
L
C S
C P
Figure 15.21
Le schéma électrique simplifié d’un quartz est donné sur
la figure (15.21). On néglige sa résistance R. On donne
L = 500 mH ; C S = 0, 08 pF et C P = 8 pF.
1. a) Calculer l’impédance complexe du quartz vue entre
les bornes A et B et la mettre sous la forme :
Z AB =
−
j
av
1 −
v
2
v 2
r
1 −
v
2
v 2
a
où j est le nombre complexe tel que j
2 = −1, et a, v r et v a sont à déterminer.
Montrer aussi que v
2
a > v
2
r
b) Calculer les valeurs numériques des fréquences f a et f r correspondant aux pulsations v a et
v r .
2. a) Étudier le comportement inductif (partie imaginaire positive) ou capacitif (partie imaginaire négative) du quartz en fonction de la fréquence. Représenter l’argument de Z AB en
fonction de v.
b) Tracer l’allure de Z AB = |Z AB |, module de l’impédance complexe du quartz, en fonction
de la fréquence.
c) Comment est modifiée cette courbe si on tient compte de la résistance de la bobine ?
2.
Adaptation d’impédance, d’après Polytechnique 2004
Un dipôle électrocinétique linéaire passif est, en régime sinusoïdal permanent, caractérisé par
son impédance complexe Z = R + jX.
u(t)
C
L
R P
C P
Figure 15.22
Le système étudié (réacteur à plasma) est modélisé par un
circuit série R P − C P . On veut diminuer au maximum la
partie imaginaire (appelée partie réactive) de cette impédance
Z P . Pour cela, on réalise le circuit de la figure (15.22).
1.
Exprimer l’admittance totale Y du dipôle de la
figure (15.22). Déterminer l’expression de C qui annule
la partie réactive de Z P .
2. La condition précédente étant réalisée, déterminer l’expression de l’impédance Z totale du
dipôle, notée alors R 1 .
3.
Impédance itérative, d’après ICNA 2000
Le circuit de la figure (15.23) est alimenté entre ses bornes "d’entrée" A et B par un générateur
qui délivre à l’instant t la tension u e (t). Cette tension, sinusoïdale, a pour amplitude complexe
U e , et pour pulsation v.
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1.
Étude de l’impédance d’un quartz piezoélectrique, d’après ENSTIM 2004
A
B
L
C S
C P
Figure 15.21
Le schéma électrique simplifié d’un quartz est donné sur
la figure (15.21). On néglige sa résistance R. On donne
L = 500 mH ; C S = 0, 08 pF et C P = 8 pF.
1. a) Calculer l’impédance complexe du quartz vue entre
les bornes A et B et la mettre sous la forme :
Z AB =
−
j
av
1 −
v
2
v 2
r
1 −
v
2
v 2
a
où j est le nombre complexe tel que j
2 = −1, et a, v r et v a sont à déterminer.
Montrer aussi que v
2
a > v
2
r
b) Calculer les valeurs numériques des fréquences f a et f r correspondant aux pulsations v a et
v r .
2. a) Étudier le comportement inductif (partie imaginaire positive) ou capacitif (partie imaginaire négative) du quartz en fonction de la fréquence. Représenter l’argument de Z AB en
fonction de v.
b) Tracer l’allure de Z AB = |Z AB |, module de l’impédance complexe du quartz, en fonction
de la fréquence.
c) Comment est modifiée cette courbe si on tient compte de la résistance de la bobine ?
2.
Adaptation d’impédance, d’après Polytechnique 2004
Un dipôle électrocinétique linéaire passif est, en régime sinusoïdal permanent, caractérisé par
son impédance complexe Z = R + jX.
u(t)
C
L
R P
C P
Figure 15.22
Le système étudié (réacteur à plasma) est modélisé par un
circuit série R P − C P . On veut diminuer au maximum la
partie imaginaire (appelée partie réactive) de cette impédance
Z P . Pour cela, on réalise le circuit de la figure (15.22).
1.
Exprimer l’admittance totale Y du dipôle de la
figure (15.22). Déterminer l’expression de C qui annule
la partie réactive de Z P .
2. La condition précédente étant réalisée, déterminer l’expression de l’impédance Z totale du
dipôle, notée alors R 1 .
3.
Impédance itérative, d’après ICNA 2000
Le circuit de la figure (15.23) est alimenté entre ses bornes "d’entrée" A et B par un générateur
qui délivre à l’instant t la tension u e (t). Cette tension, sinusoïdale, a pour amplitude complexe
U e , et pour pulsation v.
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