Chapitre 15 – Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé
On notera que seul le régime libre est utile pour l’analyse de la stabilité et qu’il n’est
donc pas nécessaire de tenir compte de la présence d’un éventuel second membre. La
solution est de la forme :
s = S 0 exp
−
b
a
t
Cette solution tend vers 0 à condition que a et b soient de même signe pour que
l’exponentielle soit réellement décroissante. Sinon, la solution tend vers ± ∞ selon le
signe de S 0 , ce qui n’a pas de réel sens physique. Dans la réalité, il existe un phénomène de saturation lié aux non-linéarités qui apparaissent pour des amplitudes importantes.
Si on revient sur les exemples des circuits R, L et R, C étudiés au chapitre 3, on note
que les coefficients de l’équation différentielle sont de même signe et que le système
est stable. C’est tout à fait conforme à ce qu’on a trouvé lors de l’étude de la réponse
à un échelon.
Un circuit du premier ordre est stable si les deux coefficients de l’équation différentielle homogène associée sont de même signe.
8.3 Stabilité des circuits du second ordre
Comme pour les circuits du premier ordre, on peut déterminer les conditions pour
qu’un système décrit par une équation différentielle du second ordre soit stable. La
définition est toujours la même : on cherche à obtenir un régime libre qui disparaît
au bout d’un temps plus ou moins long au sens où son amplitude tend vers 0.
On s’intéresse ici aux systèmes du second ordre dont l’équation différentielle s’écrit :
a
d
2 s
dt 2 + b
ds
dt
+ cs = 0
L’équation caractéristique associée est :
ar
2 + br + c = 0
et son discriminant vaut : D = b
2
− 4ac.
• Si D < 0 alors :
r =
−b ± j
√
4ac − b 2
2a
On a dans ce cas des solutions sinusoïdales modulées en amplitude dont la pulsation est donnée par la partie imaginaire de la solution de l’équation caractéristique.
Leur amplitude est modulée de façon exponentielle : elle est proportionnelle à
exp
−
b
2a t
. Le système sera stable si l’amplitude tend vers 0 ou encore si l’argument de l’exponentielle est négatif. Ce sera le cas si a et b sont de même signe.
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On notera que seul le régime libre est utile pour l’analyse de la stabilité et qu’il n’est
donc pas nécessaire de tenir compte de la présence d’un éventuel second membre. La
solution est de la forme :
s = S 0 exp
−
b
a
t
Cette solution tend vers 0 à condition que a et b soient de même signe pour que
l’exponentielle soit réellement décroissante. Sinon, la solution tend vers ± ∞ selon le
signe de S 0 , ce qui n’a pas de réel sens physique. Dans la réalité, il existe un phénomène de saturation lié aux non-linéarités qui apparaissent pour des amplitudes importantes.
Si on revient sur les exemples des circuits R, L et R, C étudiés au chapitre 3, on note
que les coefficients de l’équation différentielle sont de même signe et que le système
est stable. C’est tout à fait conforme à ce qu’on a trouvé lors de l’étude de la réponse
à un échelon.
Un circuit du premier ordre est stable si les deux coefficients de l’équation différentielle homogène associée sont de même signe.
8.3 Stabilité des circuits du second ordre
Comme pour les circuits du premier ordre, on peut déterminer les conditions pour
qu’un système décrit par une équation différentielle du second ordre soit stable. La
définition est toujours la même : on cherche à obtenir un régime libre qui disparaît
au bout d’un temps plus ou moins long au sens où son amplitude tend vers 0.
On s’intéresse ici aux systèmes du second ordre dont l’équation différentielle s’écrit :
a
d
2 s
dt 2 + b
ds
dt
+ cs = 0
L’équation caractéristique associée est :
ar
2 + br + c = 0
et son discriminant vaut : D = b
2
− 4ac.
• Si D < 0 alors :
r =
−b ± j
√
4ac − b 2
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On a dans ce cas des solutions sinusoïdales modulées en amplitude dont la pulsation est donnée par la partie imaginaire de la solution de l’équation caractéristique.
Leur amplitude est modulée de façon exponentielle : elle est proportionnelle à
exp
−
b
2a t
. Le système sera stable si l’amplitude tend vers 0 ou encore si l’argument de l’exponentielle est négatif. Ce sera le cas si a et b sont de même signe.
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