Chapitre 15 – Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé
soit
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
tan w = −
Im (1 + jtv)
Re (1 + jtv)
= −tv
w ∈
−
p
2
, 0
On rappelle que la tangente d’un angle ne suffit pas pour connaître sa valeur à 2p
près : on ne l’a qu’à p près. Il faut donc préciser l’intervalle de longueur p dans
lequel se trouve cet angle, ce qui se détermine à partir du signe du sinus et/ou du
cosinus. Ici on a sin w < 0 et cos w > 0 donc w ∈
−
p
2 , 0
. On peut donc écrire ici :
w = − arctan tv. On obtient finalement l’expression :
u(t) =
E 0
√
1 + t 2 v 2
exp (j (vt − arctan tv))
et en notation réelle :
u(t) =
E 0
√
1 + t 2 v 2
cos (vt − arctan tv)
On obtient beaucoup plus rapidement et beaucoup plus aisément la solution déterminée au début de ce chapitre. Cela montre l’intérêt de l’utilisation de la notation
complexe pour l’étude des circuits en régime sinusoïdal forcé.
4. Lois de Kirchhoff en notation complexe
4.1 Validité des lois du continu pour le régime sinusoïdal
La première chose à faire est de justifier que les lois et les théorèmes vus lors de l’étude
du régime continu restent valables en régime sinusoïdal.
Cette justification repose entièrement sur l’approximation des régimes quasistationnaires et sur la linéarité des équations comme cela a déjà été souligné précédemment. Dans le cadre de cette approximation, on néglige les phénomènes de propagation pour l’intensité et la tension. Cela revient à dire qu’une modification de l’intensité
à une extrémité d’un fil de connexion se transmet instantanément à l’autre extrémité.
On peut donc énoncer l’ensemble des lois et des théorèmes déjà vus dans le cadre du
régime continu pour le régime sinusoïdal. Il suffit de remplacer les grandeurs par les
grandeurs instantanées correspondantes.
4.2 Loi des nœuds
i 1
i 2
i 3
i 4
i 5
i 6
N
Figure 15.8 Loi des nœuds.
Soit un nœud N, point de concours de n
courants i 1 (t), i 2 (t), ... i n (t). On accepte que
les sens conventionnels des intensités puissent
partir ou arriver du nœud : on pose e k = ±1
en fonction du sens conventionnel choisi pour
la branche k.
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soit
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
tan w = −
Im (1 + jtv)
Re (1 + jtv)
= −tv
w ∈
−
p
2
, 0
On rappelle que la tangente d’un angle ne suffit pas pour connaître sa valeur à 2p
près : on ne l’a qu’à p près. Il faut donc préciser l’intervalle de longueur p dans
lequel se trouve cet angle, ce qui se détermine à partir du signe du sinus et/ou du
cosinus. Ici on a sin w < 0 et cos w > 0 donc w ∈
−
p
2 , 0
. On peut donc écrire ici :
w = − arctan tv. On obtient finalement l’expression :
u(t) =
E 0
√
1 + t 2 v 2
exp (j (vt − arctan tv))
et en notation réelle :
u(t) =
E 0
√
1 + t 2 v 2
cos (vt − arctan tv)
On obtient beaucoup plus rapidement et beaucoup plus aisément la solution déterminée au début de ce chapitre. Cela montre l’intérêt de l’utilisation de la notation
complexe pour l’étude des circuits en régime sinusoïdal forcé.
4. Lois de Kirchhoff en notation complexe
4.1 Validité des lois du continu pour le régime sinusoïdal
La première chose à faire est de justifier que les lois et les théorèmes vus lors de l’étude
du régime continu restent valables en régime sinusoïdal.
Cette justification repose entièrement sur l’approximation des régimes quasistationnaires et sur la linéarité des équations comme cela a déjà été souligné précédemment. Dans le cadre de cette approximation, on néglige les phénomènes de propagation pour l’intensité et la tension. Cela revient à dire qu’une modification de l’intensité
à une extrémité d’un fil de connexion se transmet instantanément à l’autre extrémité.
On peut donc énoncer l’ensemble des lois et des théorèmes déjà vus dans le cadre du
régime continu pour le régime sinusoïdal. Il suffit de remplacer les grandeurs par les
grandeurs instantanées correspondantes.
4.2 Loi des nœuds
i 1
i 2
i 3
i 4
i 5
i 6
N
Figure 15.8 Loi des nœuds.
Soit un nœud N, point de concours de n
courants i 1 (t), i 2 (t), ... i n (t). On accepte que
les sens conventionnels des intensités puissent
partir ou arriver du nœud : on pose e k = ±1
en fonction du sens conventionnel choisi pour
la branche k.
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