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Notation complexe
même pulsation v, le terme exp (jvt) se met en facteur et x(t) = x 1 (t) + x 2 (t) a pour
amplitude X 1 + X 2 = X 1 exp (jw 1 ) + X 2 exp (jw 2 ).
b) En représentation de Fresnel
On peut associer à ce nombre complexe une représentation de Fresnel
− − →
OM qui est la
somme vectorielle de
−−→
OM 1 et de
−−→
OM 2 . En effet, dans le plan complexe, la somme des
vecteurs représentant deux nombres complexes est un vecteur représentant la somme
des deux nombres complexes.
On peut noter que cela nécessite l’indéformabilité du triangle OM 1 M 2 au cours du
temps. Si ce n’est pas le cas, la somme vectorielle ne pourra donner un vecteur de
module constant et il ne sera pas possible de définir l’amplitude complexe. Or ce
triangle ne sera indéformable que si les deux vecteurs
−−→
OM 1 et
−−→
OM 2 tournent autour de
O à la même vitesse angulaire. Cela impose aux deux signaux d’avoir même pulsation,
ce qui a été supposé au début du paragraphe.
imaginaire
réel
M
vt+w
X
O
M 1
vt+w 1
X 1
M 2
vt+w 2
X 2
Figure 15.5 Addition de nombres complexes en représentation de Fresnel.
3.4 Dérivation de signaux
On cherche à représenter la dérivée de x(t) = X cos (vt + w) qui vaut :
dx
dt
= −vX sin (vt + w) = vX cos
vt + w +
p
2
par la grandeur complexe et son vecteur de Fresnel associés.
La grandeur complexe associée est :
Xv exp
j
vt + w +
p
2
= exp
j
p
2
vX exp (j (vt + w)) = jvx(t)
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