Chapitre 15 – Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé
3.2 Représentation de Fresnel
imaginaire
réel
M
vt+w
X
O
Figure 15.4 Représentation de Fresnel
d’un signal sinusoïdal.
À cette notation complexe, on associe
également une représentation vectorielle
dite représentation de Fresnel. Il s’agit de
tracer dans le plan complexe le vecteur d’origine O le centre du repère et
correspondant au complexe x(t), c’est-àdire le vecteur
− − →
OM d’affixe x(t) tel que :
OM = X
(Ox, OM) = vt + w
Cela revient à associer à la grandeur
sinusoïdale x(t) = X cos (vt + w) un
vecteur tournant dans le sens trigonométrique à la vitesse angulaire constante v
autour de l’origine et dont le module vaut l’amplitude X. Ce vecteur est appelé vecteur
de Fresnel.
En général, on le représente à l’instant t = 0.
Une telle représentation offre l’avantage de donner une visualisation géométrique.
Cela pourra permettra, à condition que le schéma soit clair, d’alléger les calculs en
« lisant » la figure.
3.3 Addition de signaux de même pulsation
Soient deux grandeurs sinusoïdales :
x 1 (t) = X 1 cos (vt + w 1 ) et x 2 (t) = X 2 cos (vt + w 2 )
de même pulsation v. Les grandeurs complexes associées sont respectivement
x 1 (t) = X 1 exp (jw 1 ) exp (jvt) et x 2 (t) = X 2 exp (jw 2 ) exp (jvt) et on note
−−→
OM 1 et
−−→
OM 2 les vecteurs de Fresnel associés.
a) En notation complexe
Prendre la partie réelle d’une somme de nombres complexes revient à additionner les
parties réelles de ces nombres complexes, on en déduit que
Re
x 1 (t) + x 2 (t)
= Re
x 1 (t)
+ Re
x 2 (t)
= x 1 (t) + x 2 (t)
La grandeur X 1 exp (jw 1 ) exp (jvt) + X 2 exp (jw 2 ) exp (jvt) est donc le nombre complexe associé à la somme des signaux réels x 1 (t) et x 2 (t). Comme les deux signaux ont
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3.2 Représentation de Fresnel
imaginaire
réel
M
vt+w
X
O
Figure 15.4 Représentation de Fresnel
d’un signal sinusoïdal.
À cette notation complexe, on associe
également une représentation vectorielle
dite représentation de Fresnel. Il s’agit de
tracer dans le plan complexe le vecteur d’origine O le centre du repère et
correspondant au complexe x(t), c’est-àdire le vecteur
− − →
OM d’affixe x(t) tel que :
OM = X
(Ox, OM) = vt + w
Cela revient à associer à la grandeur
sinusoïdale x(t) = X cos (vt + w) un
vecteur tournant dans le sens trigonométrique à la vitesse angulaire constante v
autour de l’origine et dont le module vaut l’amplitude X. Ce vecteur est appelé vecteur
de Fresnel.
En général, on le représente à l’instant t = 0.
Une telle représentation offre l’avantage de donner une visualisation géométrique.
Cela pourra permettra, à condition que le schéma soit clair, d’alléger les calculs en
« lisant » la figure.
3.3 Addition de signaux de même pulsation
Soient deux grandeurs sinusoïdales :
x 1 (t) = X 1 cos (vt + w 1 ) et x 2 (t) = X 2 cos (vt + w 2 )
de même pulsation v. Les grandeurs complexes associées sont respectivement
x 1 (t) = X 1 exp (jw 1 ) exp (jvt) et x 2 (t) = X 2 exp (jw 2 ) exp (jvt) et on note
−−→
OM 1 et
−−→
OM 2 les vecteurs de Fresnel associés.
a) En notation complexe
Prendre la partie réelle d’une somme de nombres complexes revient à additionner les
parties réelles de ces nombres complexes, on en déduit que
Re
x 1 (t) + x 2 (t)
= Re
x 1 (t)
+ Re
x 2 (t)
= x 1 (t) + x 2 (t)
La grandeur X 1 exp (jw 1 ) exp (jvt) + X 2 exp (jw 2 ) exp (jvt) est donc le nombre complexe associé à la somme des signaux réels x 1 (t) et x 2 (t). Comme les deux signaux ont
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