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Notation complexe
complexe de module 1 et d’argument
p
2
vérifiant j
2 = −1. Cette notation permet
d’éviter toute confusion avec l’intensité i.
On peut écrire :
x(t) = (X exp (jw)) exp (jvt)
On appelle amplitude complexe la grandeur complexe :
X = X exp (jw)
qui ne dépend pas du temps. Elle contient toutes les informations sur l’amplitude et
la phase initiale du signal.
À partir du signal complexe, on revient facilement au signal réel de départ :
x(t) = Re (x(t))
et les caractéristiques du signal sont obtenues :
• en prenant le module de X ou de x(t) pour l’amplitude :
X = |x(t)| = |X|
• en prenant l’argument de X pour la phase initiale :
w = Arg (X)
• en prenant l’argument de x(t) pour la phase instantanée :
vt + w = Arg (x(t))
➤ Remarque : On se place ici dans le cas d’équations différentielles linéaires à second
membre sinusoïdal du type E 0 cos vt dont on cherche une solution particulière sous la
forme u P,1 (t) = U 0 cos (vt + w).
Quand on translate l’origine des temps d’un quart de période (t → t −
T
4
) dans l’équation
différentielle initiale (E 1 ), seul le second membre change. Il devient E 0 sin vt et une solution particulière de cette nouvelle équation différentielle (E 2 ) est u P,2 (t) = U 0 sin (vt + w).
La somme des équations différentielles (E) = (E 1 ) + j(E 2 ) a pour second membre
E 0 exp (jvt) et une solution particulière de (E) est u P = u P,1 (t) + ju P,2 (t). Cette propriété,
liée à la linéarité des équations étudiées, justifie l’utilisation de la notation complexe. On
cherchera donc x(t), solution de (E).
Pour les règles de calcul sur les modules et les arguments d’un produit ou d’un quotient de nombres complexes, le lecteur est invité à se reporter à son cours de mathématiques de première période.
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Notation complexe
complexe de module 1 et d’argument
p
2
vérifiant j
2 = −1. Cette notation permet
d’éviter toute confusion avec l’intensité i.
On peut écrire :
x(t) = (X exp (jw)) exp (jvt)
On appelle amplitude complexe la grandeur complexe :
X = X exp (jw)
qui ne dépend pas du temps. Elle contient toutes les informations sur l’amplitude et
la phase initiale du signal.
À partir du signal complexe, on revient facilement au signal réel de départ :
x(t) = Re (x(t))
et les caractéristiques du signal sont obtenues :
• en prenant le module de X ou de x(t) pour l’amplitude :
X = |x(t)| = |X|
• en prenant l’argument de X pour la phase initiale :
w = Arg (X)
• en prenant l’argument de x(t) pour la phase instantanée :
vt + w = Arg (x(t))
➤ Remarque : On se place ici dans le cas d’équations différentielles linéaires à second
membre sinusoïdal du type E 0 cos vt dont on cherche une solution particulière sous la
forme u P,1 (t) = U 0 cos (vt + w).
Quand on translate l’origine des temps d’un quart de période (t → t −
T
4
) dans l’équation
différentielle initiale (E 1 ), seul le second membre change. Il devient E 0 sin vt et une solution particulière de cette nouvelle équation différentielle (E 2 ) est u P,2 (t) = U 0 sin (vt + w).
La somme des équations différentielles (E) = (E 1 ) + j(E 2 ) a pour second membre
E 0 exp (jvt) et une solution particulière de (E) est u P = u P,1 (t) + ju P,2 (t). Cette propriété,
liée à la linéarité des équations étudiées, justifie l’utilisation de la notation complexe. On
cherchera donc x(t), solution de (E).
Pour les règles de calcul sur les modules et les arguments d’un produit ou d’un quotient de nombres complexes, le lecteur est invité à se reporter à son cours de mathématiques de première période.
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