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Intérêt de la notation complexe
Il s’agit d’une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants
dont la solution s’écrit comme la somme de :
• la solution générale
2 u H (t) de l’équation homogène associée
du
dt
+
u
t
= 0 :
u H (t) = U 0 exp
−
t
t
• une solution particulière u P (t) qu’on cherche sous une forme analogue à celle du
second membre :
u P (t) = A cos vt + B sin vt
On doit donc déterminer les valeurs de A et B : on dérive l’expression u P (t) et on
reporte dans l’équation différentielle :
−Av +
B
t
sin vt +
A
t
+ Bv
cos vt =
E 0
t
cos vt
En identifiant les coefficients du cosinus et du sinus, on obtient :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
vB +
A
t
=
E 0
t
−vA +
B
t
= 0
On en déduit :
A =
E 0
1 + (tv)
2
et
B =
tvE 0
1 + (tv)
2
La solution particulière cherchée s’écrit alors :
u P (t) =
E 0
1 + (tv)
2
(cos vt + tv sin vt)
La solution générale est donc :
u(t) = u H (t) + u P (t) = U 0 exp
−
t
t
+
E 0
1 + (tv) 2 (cos vt + tv sin vt)
Au bout d’un temps égal à quelques t, on a : |u H (t)| | |u P (t)| et on peut écrire :
u(t) u P (t)
Il s’agit du régime sinusoïdal forcé (u H (t) correspond au régime libre qui a été étudié
au chapitre sur les circuits soumis à un échelon de tension).
2 L’analyse de cette solution a été détaillée dans le chapitre sur les circuits linéaires soumis à un échelon
de tension dans le cours de première période.
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