Chapitre 7 – Oscillateurs harmoniques et amortis
1. Montrer que pour que le solide se mette en mouvement il faut que |x 0 | > a =
fmg
k
.
2. On suppose |x 0 | > a. Montrer que le mouvement du solide se décompose en plusieurs
phases. Déterminer x 1 (t), abscisse du mobile au cours de la première phase du mouvement. À
quel instant cette première phase s’arrête-t-elle ? À quelle condition le mobile s’arrête-t-il ?
3. On suppose que le mobile ne s’arrête pas. Donner la pseudo-période des oscillations du
mobile. Comparer avec l’oscillateur amorti par frottement fluide étudié dans le cours.
6.
Un modèle d’élasticité d’une fibre de verre, d’après ENSTIM 2004
Le verre est un matériau très dur. On peut toutefois le déformer légèrement sans le casser : on
parle d’élasticité. Récemment, des expériences de biophysique ont été menées pour étudier
l’ADN. Le capteur utilisé était simplement une fibre optique en silice amincie à l’extrémité
de laquelle on accroche un brin d’ADN. L’expérience consistait à suivre la déformation de
flexion de la fibre. La masse volumique du verre est r = 2500 kg.m
−1 .
Y
k
− →
F
− →
F
Figure 7.14
La fibre de verre de longueur et de diamètre d est encastrée horizontalement dans
une paroi immobile. Au repos, la fibre est
horizontale (on néglige son poids). Quand
on applique une force verticale F (on supposera que la force F reste verticale tout au
long de l’expérience) à l’extrémité libre de
la fibre, celle-ci est déformée. L’extrémité est
déplacée verticalement d’une distance Y que
l’on appelle la flèche (figure 7.14).
La flèche Y est donnée par la relation suivante (on notera la présence du facteur numérique 7,
sans dimension, qui est en fait une valeur approchée pour plus de simplicité) : Y =
7
3 F
Ed 4 , où
E est appelé module d’Young du verre. Pour les applications numériques on prendra pour le
module d’Young E = 7.10
10 S.I..
1. Quelle est l’unité S.I. du module d’Young E ?
2. En considérant uniquement la force F, montrer que l’on peut modéliser la fibre de verre par
un ressort de longueur à vide nulle et de constante de raideur k dont on donnera l’expression
analytique en fonction de E, d et .
3. Calculer numériquement k pour une fibre de longueur = 7 mm et de diamètre
d = 10 mm.
4. Démontrer l’expression de l’énergie potentielle élastique d’un ressort de longueur à vide
nulle, de constante de raideur k, lorsque sa longueur est . En reprenant l’analogie du ressort,
quelle est alors l’énergie potentielle élastique de la fibre de verre lorsque la flèche vaut Y ?
On a tous fait l’expérience suivante : faire vibrer une règle ou une tige lorsque une de
ses extrémités est bloquée. On cherche ici à trouver les grandeurs pertinentes qui fixent la
fréquence des vibrations. L’extrémité de la tige vaut Y (t) à l’instant t. On admet que lors
des vibrations de la fibre, l’énergie cinétique de la fibre de verre est donnée par l’expression
E c = rd
2
dY
dt
2
.
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1. Montrer que pour que le solide se mette en mouvement il faut que |x 0 | > a =
fmg
k
.
2. On suppose |x 0 | > a. Montrer que le mouvement du solide se décompose en plusieurs
phases. Déterminer x 1 (t), abscisse du mobile au cours de la première phase du mouvement. À
quel instant cette première phase s’arrête-t-elle ? À quelle condition le mobile s’arrête-t-il ?
3. On suppose que le mobile ne s’arrête pas. Donner la pseudo-période des oscillations du
mobile. Comparer avec l’oscillateur amorti par frottement fluide étudié dans le cours.
6.
Un modèle d’élasticité d’une fibre de verre, d’après ENSTIM 2004
Le verre est un matériau très dur. On peut toutefois le déformer légèrement sans le casser : on
parle d’élasticité. Récemment, des expériences de biophysique ont été menées pour étudier
l’ADN. Le capteur utilisé était simplement une fibre optique en silice amincie à l’extrémité
de laquelle on accroche un brin d’ADN. L’expérience consistait à suivre la déformation de
flexion de la fibre. La masse volumique du verre est r = 2500 kg.m
−1 .
Y
k
− →
F
− →
F
Figure 7.14
La fibre de verre de longueur et de diamètre d est encastrée horizontalement dans
une paroi immobile. Au repos, la fibre est
horizontale (on néglige son poids). Quand
on applique une force verticale F (on supposera que la force F reste verticale tout au
long de l’expérience) à l’extrémité libre de
la fibre, celle-ci est déformée. L’extrémité est
déplacée verticalement d’une distance Y que
l’on appelle la flèche (figure 7.14).
La flèche Y est donnée par la relation suivante (on notera la présence du facteur numérique 7,
sans dimension, qui est en fait une valeur approchée pour plus de simplicité) : Y =
7
3 F
Ed 4 , où
E est appelé module d’Young du verre. Pour les applications numériques on prendra pour le
module d’Young E = 7.10
10 S.I..
1. Quelle est l’unité S.I. du module d’Young E ?
2. En considérant uniquement la force F, montrer que l’on peut modéliser la fibre de verre par
un ressort de longueur à vide nulle et de constante de raideur k dont on donnera l’expression
analytique en fonction de E, d et .
3. Calculer numériquement k pour une fibre de longueur = 7 mm et de diamètre
d = 10 mm.
4. Démontrer l’expression de l’énergie potentielle élastique d’un ressort de longueur à vide
nulle, de constante de raideur k, lorsque sa longueur est . En reprenant l’analogie du ressort,
quelle est alors l’énergie potentielle élastique de la fibre de verre lorsque la flèche vaut Y ?
On a tous fait l’expérience suivante : faire vibrer une règle ou une tige lorsque une de
ses extrémités est bloquée. On cherche ici à trouver les grandeurs pertinentes qui fixent la
fréquence des vibrations. L’extrémité de la tige vaut Y (t) à l’instant t. On admet que lors
des vibrations de la fibre, l’énergie cinétique de la fibre de verre est donnée par l’expression
E c = rd
2
dY
dt
2
.
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