5. Écrire l’expression de l’énergie mécanique de la fibre en négligeant l’énergie potentielle de
pesanteur.
6. Justifier que l’énergie mécanique se conserve au cours du temps. En déduire l’équation
différentielle qui régit les vibrations de la fibre.
7. Quelle est l’expression de la fréquence propre de vibration d’une tige de verre de module
d’Young E, de longueur et de diamètre d.
8. Calculer numériquement la fréquence des vibrations d’une fibre de verre de longueur
7 mm et de diamètre 0,01 mm.
7.
Système de recul d’un canon
On considère un canon (figure 7.15) de masse M = 800 kg. Lors du tir horizontal d’un obus
de masse m = 2 kg avec une vitesse − → v 0 = v 0
− → u x (v 0 = 600 m.s
−1 ), le canon acquiert une vitesse
de recul − → v c = −
m
M
− → v 0 .
x
O
obus
canon
Figure 7.15
x
O
G
Figure 7.16
Pour limiter la course du canon, on utilise un ressort de raideur k 1 , de longueur à vide L 0 dont
l’une des extrémités est fixe et l’autre lié au canon. Le déplacement a lieu suivant l’axe Ox.
Dans la suite, le canon est assimilé à son centre de gravité G (figure 7.16).
1. Quelle est la longueur du ressort lorque le canon est au repos ?
2. En utilisant l’énergie mécanique, déterminer la distance de recul d. En déduire la raideur
k 1 pour avoir un recul au maximum égal à d. Application numérique pour d = 1m.
3. Retrouver la relation entre k 1 et d en appliquant la relation fondamentale de la dynamique.
4. Quel est l’inconvénient d’utiliser un ressort seul ?
Pour pallier ce problème, on ajoute au système un dispositif amortisseur, exerçant une force
de frottement visqueux
− →
F = −l − → v , − → v étant la vitesse du canon.
x
O
G
Figure 7.17
5. Le dispositif de freinage absorbe une fraction E a = 778 J de l’énergie cinétique initiale.
Calculer la nouvelle valeur k 2 de la constante de raideur du ressort avec les données numériques
précédentes. Déterminer la pulsation propre v 0 de l’oscillateur.
193
pesanteur.
6. Justifier que l’énergie mécanique se conserve au cours du temps. En déduire l’équation
différentielle qui régit les vibrations de la fibre.
7. Quelle est l’expression de la fréquence propre de vibration d’une tige de verre de module
d’Young E, de longueur et de diamètre d.
8. Calculer numériquement la fréquence des vibrations d’une fibre de verre de longueur
7 mm et de diamètre 0,01 mm.
7.
Système de recul d’un canon
On considère un canon (figure 7.15) de masse M = 800 kg. Lors du tir horizontal d’un obus
de masse m = 2 kg avec une vitesse − → v 0 = v 0
− → u x (v 0 = 600 m.s
−1 ), le canon acquiert une vitesse
de recul − → v c = −
m
M
− → v 0 .
x
O
obus
canon
Figure 7.15
x
O
G
Figure 7.16
Pour limiter la course du canon, on utilise un ressort de raideur k 1 , de longueur à vide L 0 dont
l’une des extrémités est fixe et l’autre lié au canon. Le déplacement a lieu suivant l’axe Ox.
Dans la suite, le canon est assimilé à son centre de gravité G (figure 7.16).
1. Quelle est la longueur du ressort lorque le canon est au repos ?
2. En utilisant l’énergie mécanique, déterminer la distance de recul d. En déduire la raideur
k 1 pour avoir un recul au maximum égal à d. Application numérique pour d = 1m.
3. Retrouver la relation entre k 1 et d en appliquant la relation fondamentale de la dynamique.
4. Quel est l’inconvénient d’utiliser un ressort seul ?
Pour pallier ce problème, on ajoute au système un dispositif amortisseur, exerçant une force
de frottement visqueux
− →
F = −l − → v , − → v étant la vitesse du canon.
x
O
G
Figure 7.17
5. Le dispositif de freinage absorbe une fraction E a = 778 J de l’énergie cinétique initiale.
Calculer la nouvelle valeur k 2 de la constante de raideur du ressort avec les données numériques
précédentes. Déterminer la pulsation propre v 0 de l’oscillateur.
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