e) On définit le décrément logarithmique par d =
1
n
ln
x(t) − x B
x(t + nT ) − x B
où x(t) et
x(t + nT ) sont les élongations aux instants t et t + nT (n entier naturel) et x B l’élongation
finale de M. Exprimer d en fonction de T et t.
En choisissant une valeur de n la plus grande possible pour les données dont on dispose,
déterminer d puis t.
f) Déduire des résultats précédents le facteur de qualité Q et la pulsation propre v 0 .
g) Déterminer la raideur du ressort k, le coefficient de frottement l et la force F c sachant que
0 = 1 cm.
4.
Modélisation d’un amortisseur
z
− → u x
− → u z
l
O
z 0 = R
k
M
Figure 7.13
On considère l’amortisseur d’un véhicule.
Chaque roue supporte un quart de la masse
de la voiture assimilé à un point M de masse
m = 500 kg, et est reliée à un amortisseur
dont le ressort a une constante de raideur
k = 2, 5.10
4 N.m
−1 . Le point M subit aussi
un frottement visqueux
− →
f v = −l − → v où − → v est
la vitesse de M et l = 5.10
3 kg.s
−1 .
Le véhicule franchit à vitesse constante un
défaut de la chaussée de hauteur h = 5 cm.
Son inertie est suffisante pour qu’il ne se soulève pas immédiatement mais acquiert une
vitesse verticale v 0 = 0, 5 m.s
−1 . On pose a =
l
2m
. On note Z i la cote du point M avant le
passage du défaut.
1. a) On note Z(t) la cote de M. Établir l’équation différentielle pour Z après le passage de
l’obstacle. Déterminer Z(t) en fonction des données. On remarquera que a = V où V est la
pseudo-pulsation.
b) Les passagers sont sensibles à l’accélération verticale de la voiture, calculer sa valeur maximale. On utilisera le fait que a = V.
2. Il faut en fait éviter des oscillations susceptibles de provoquer chez les passagers le mal des
transports, en se plaçant dans les conditions critiques. Pour quelle masse par roue est-ce réalisé,
k et l étant inchangés ?
5.
Oscillations avec frottement solide
On considère un mobile M de masse m se déplaçant selon un axe horizontal (Ox) et assimilé à
un point matériel. Ce mobile est soumis à une force de rappel −kx et à une force de frottement
solide, le coefficient de frottement est f : la réaction
− →
R du support sur le point se décompose
entre une composante tangentielle
− →
R T et une composante normale
− →
R N , avec
− →
R T
= f
− →
R N
et
− →
R T · − → v (M) /support < 0 si le mobile est en mouvement, et
− →
R T
< f
− →
R N
si il est immobile.
On pose le mobile au point d’abscisse x 0 sans vitesse initiale.
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1
n
ln
x(t) − x B
x(t + nT ) − x B
où x(t) et
x(t + nT ) sont les élongations aux instants t et t + nT (n entier naturel) et x B l’élongation
finale de M. Exprimer d en fonction de T et t.
En choisissant une valeur de n la plus grande possible pour les données dont on dispose,
déterminer d puis t.
f) Déduire des résultats précédents le facteur de qualité Q et la pulsation propre v 0 .
g) Déterminer la raideur du ressort k, le coefficient de frottement l et la force F c sachant que
0 = 1 cm.
4.
Modélisation d’un amortisseur
z
− → u x
− → u z
l
O
z 0 = R
k
M
Figure 7.13
On considère l’amortisseur d’un véhicule.
Chaque roue supporte un quart de la masse
de la voiture assimilé à un point M de masse
m = 500 kg, et est reliée à un amortisseur
dont le ressort a une constante de raideur
k = 2, 5.10
4 N.m
−1 . Le point M subit aussi
un frottement visqueux
− →
f v = −l − → v où − → v est
la vitesse de M et l = 5.10
3 kg.s
−1 .
Le véhicule franchit à vitesse constante un
défaut de la chaussée de hauteur h = 5 cm.
Son inertie est suffisante pour qu’il ne se soulève pas immédiatement mais acquiert une
vitesse verticale v 0 = 0, 5 m.s
−1 . On pose a =
l
2m
. On note Z i la cote du point M avant le
passage du défaut.
1. a) On note Z(t) la cote de M. Établir l’équation différentielle pour Z après le passage de
l’obstacle. Déterminer Z(t) en fonction des données. On remarquera que a = V où V est la
pseudo-pulsation.
b) Les passagers sont sensibles à l’accélération verticale de la voiture, calculer sa valeur maximale. On utilisera le fait que a = V.
2. Il faut en fait éviter des oscillations susceptibles de provoquer chez les passagers le mal des
transports, en se plaçant dans les conditions critiques. Pour quelle masse par roue est-ce réalisé,
k et l étant inchangés ?
5.
Oscillations avec frottement solide
On considère un mobile M de masse m se déplaçant selon un axe horizontal (Ox) et assimilé à
un point matériel. Ce mobile est soumis à une force de rappel −kx et à une force de frottement
solide, le coefficient de frottement est f : la réaction
− →
R du support sur le point se décompose
entre une composante tangentielle
− →
R T et une composante normale
− →
R N , avec
− →
R T
= f
− →
R N
et
− →
R T · − → v (M) /support < 0 si le mobile est en mouvement, et
− →
R T
< f
− →
R N
si il est immobile.
On pose le mobile au point d’abscisse x 0 sans vitesse initiale.
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