Chapitre 7 – Oscillateurs harmoniques et amortis
3.
Étude d’un oscillateur à l’aide de son portrait de phase
On fait l’étude d’un oscillateur M de masse m = 0, 2 kg astreint à se déplacer suivant l’axe Ox
de vecteur unitaire − → u x . Il est soumis uniquement aux forces suivantes :
• la force de rappel d’un ressort de caractéristiques (k, 0 ).
• une force de frottement visqueux :
− →
f v = −l ˙
x − → u x .
• une force constante
− →
F c = F c
− → u x
1. a) Établir l’équation différentielle du mouvement de M et la mettre sous la forme :
¨ x +
v 0
Q
˙
x + v
2
0 x = v
2
0 X 0
où x est l’allongement du ressort (par rapport à 0 ). Les grandeurs v 0 , Q et X 0 sont à exprimer
en fonction des données.
b) Dans le cas d’une solution pseudo-périodique, exprimer x(t) : on définira le temps caractéristique t et la pseudo-pulsation V que l’on exprimera en fonction de v 0 et Q.
2. Le portrait de phase (v(t) = ˙
x(t), x(t)) de l’oscillateur étudié est donné sur la figure (7.12).
On souhaite pouvoir en tirer les valeurs des différents paramètres de l’oscillateur.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
0
2.5
5
7.5
10
12.5
15
17.5
20
−2.5
−5
−7.5
−10
−12.5
−15
−17.5
−20
v(t) en cm/s
x(t) en cm
A
B
Figure 7.12
a) Quel est le type de mouvement ?
b) Déterminer la vitesse et l’élongation au début et à la fin du mouvement.
c) Déterminer la vitesse maximale atteinte ainsi que l’élongation maximale.
d) On donne les différentes dates correspondant aux croisements de la trajectoire de phase
avec l’axe des abscisses :
t (s)
0,31
0,65
0,97
1,3
1,62
En déduire le pseudo-période T et la pseudo-pulsation V.
190
3.
Étude d’un oscillateur à l’aide de son portrait de phase
On fait l’étude d’un oscillateur M de masse m = 0, 2 kg astreint à se déplacer suivant l’axe Ox
de vecteur unitaire − → u x . Il est soumis uniquement aux forces suivantes :
• la force de rappel d’un ressort de caractéristiques (k, 0 ).
• une force de frottement visqueux :
− →
f v = −l ˙
x − → u x .
• une force constante
− →
F c = F c
− → u x
1. a) Établir l’équation différentielle du mouvement de M et la mettre sous la forme :
¨ x +
v 0
Q
˙
x + v
2
0 x = v
2
0 X 0
où x est l’allongement du ressort (par rapport à 0 ). Les grandeurs v 0 , Q et X 0 sont à exprimer
en fonction des données.
b) Dans le cas d’une solution pseudo-périodique, exprimer x(t) : on définira le temps caractéristique t et la pseudo-pulsation V que l’on exprimera en fonction de v 0 et Q.
2. Le portrait de phase (v(t) = ˙
x(t), x(t)) de l’oscillateur étudié est donné sur la figure (7.12).
On souhaite pouvoir en tirer les valeurs des différents paramètres de l’oscillateur.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
0
2.5
5
7.5
10
12.5
15
17.5
20
−2.5
−5
−7.5
−10
−12.5
−15
−17.5
−20
v(t) en cm/s
x(t) en cm
A
B
Figure 7.12
a) Quel est le type de mouvement ?
b) Déterminer la vitesse et l’élongation au début et à la fin du mouvement.
c) Déterminer la vitesse maximale atteinte ainsi que l’élongation maximale.
d) On donne les différentes dates correspondant aux croisements de la trajectoire de phase
avec l’axe des abscisses :
t (s)
0,31
0,65
0,97
1,3
1,62
En déduire le pseudo-période T et la pseudo-pulsation V.
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