2. Déterminer l’équation différentielle du mouvement de A en appliquant le principe
fondamental de la dynamique.
3. Retrouver le résultat par le théorème de l’énergie cinétique.
4. Déterminer les positions d’équilibre du système.
5. Étudier leur stabilité.
6. Initialement on abandonne A sans vitesse initiale alors que le fil est écarté d’un angle
u 0 . On se place dans le cas où u 0 est petit. Montrer que le système constitue un oscillateur
harmonique dont on exprimera la pulsation v 0 et la période T 0 en fonction de g et L.
7. Compte tenu des conditions initiales, déterminer l’expression u de l’angle en fonction du
temps t.
8. Quelle est la valeur maximale v max de la vitesse de l’objet A au cours de son mouvement ?
On l’exprimera en fonction de u 0 , L et g.
9. Tracer la courbe donnant u en fonction du temps.
10. On suppose désormais que A est soumis à une force de frottement fluide proportionnel
à la vitesse − → v . On note h le coefficient de proportionnalité.
Établir l’équation différentielle du mouvement en u à partir du principe fondamental de la
dynamique.
11. Les frottements sont suffisamment faibles pour que le régime soit pseudo-périodique.
Donner la condition sur h pour qu’il en soit ainsi.
12. Dans le cas des petites oscillations, déterminer l’expression de u en fonction du temps t.
Les conditions initiales sont les mêmes que précédemment.
13. Donner l’allure de la courbe représentant u en fonction du temps.
14. Retrouver l’équation différentielle du mouvement par une méthode énergétique.
2.
Période des oscillations d’un pendule simple en fonction de l’amplitude
On considère une masse ponctuelle suspendue au bout d’un fil inextensible de masse négligeable et de longueur l.
1. Établir l’équation du mouvement de la masse m.
2. Que peut-on dire de la nature du mouvement si on ne considère que les petites oscillations ?
3. Pour de plus fortes amplitudes, on va tenir compte d’un terme supplémentaire dans le
développement limité du sinus. Que devient l’équation du mouvement ?
4. On cherche des solutions de la forme : u = A cos vt. Établir qu’il convient également
d’introduire un terme de pulsation 3v si on veut obtenir un mouvement.
5. On pose donc u = A (cos vt + e cos 3vt) avec A 1 et e 1. Déterminer le système de
deux équations en v
2 et e.
6. En déduire la formule de Borda T T 0
1 +
A
2
16
et l’expression de e −
A
2
192
.
189
fondamental de la dynamique.
3. Retrouver le résultat par le théorème de l’énergie cinétique.
4. Déterminer les positions d’équilibre du système.
5. Étudier leur stabilité.
6. Initialement on abandonne A sans vitesse initiale alors que le fil est écarté d’un angle
u 0 . On se place dans le cas où u 0 est petit. Montrer que le système constitue un oscillateur
harmonique dont on exprimera la pulsation v 0 et la période T 0 en fonction de g et L.
7. Compte tenu des conditions initiales, déterminer l’expression u de l’angle en fonction du
temps t.
8. Quelle est la valeur maximale v max de la vitesse de l’objet A au cours de son mouvement ?
On l’exprimera en fonction de u 0 , L et g.
9. Tracer la courbe donnant u en fonction du temps.
10. On suppose désormais que A est soumis à une force de frottement fluide proportionnel
à la vitesse − → v . On note h le coefficient de proportionnalité.
Établir l’équation différentielle du mouvement en u à partir du principe fondamental de la
dynamique.
11. Les frottements sont suffisamment faibles pour que le régime soit pseudo-périodique.
Donner la condition sur h pour qu’il en soit ainsi.
12. Dans le cas des petites oscillations, déterminer l’expression de u en fonction du temps t.
Les conditions initiales sont les mêmes que précédemment.
13. Donner l’allure de la courbe représentant u en fonction du temps.
14. Retrouver l’équation différentielle du mouvement par une méthode énergétique.
2.
Période des oscillations d’un pendule simple en fonction de l’amplitude
On considère une masse ponctuelle suspendue au bout d’un fil inextensible de masse négligeable et de longueur l.
1. Établir l’équation du mouvement de la masse m.
2. Que peut-on dire de la nature du mouvement si on ne considère que les petites oscillations ?
3. Pour de plus fortes amplitudes, on va tenir compte d’un terme supplémentaire dans le
développement limité du sinus. Que devient l’équation du mouvement ?
4. On cherche des solutions de la forme : u = A cos vt. Établir qu’il convient également
d’introduire un terme de pulsation 3v si on veut obtenir un mouvement.
5. On pose donc u = A (cos vt + e cos 3vt) avec A 1 et e 1. Déterminer le système de
deux équations en v
2 et e.
6. En déduire la formule de Borda T T 0
1 +
A
2
16
et l’expression de e −
A
2
192
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