Chapitre 7 – Oscillateurs harmoniques et amortis
On note x et y les élongations de A et B comptées à partir de leur position d’équilibre.
1. Écrire les relations à l’équilibre reliant les longueurs à vide des ressorts ( 0 pour (1) et (3)
L 0 pour (2)) et les longueurs à l’équilibre ( e pour (1) et (3) L e pour (2))).
2. Déterminer les équations du mouvement. Déduire des résultats précédents deux équations
différentielles, fonction de x et y et de leurs dérivées secondes, et de k, K et m uniquement.
3. On pose S = x + y et D = x − y. En déduire deux équations diffférentielles, l’une
uniquement en S et l’autre uniquement en D. On posera v
2
0 = k/m et v
2
1 = (k + 2K)/m.
Déterminer les expressions générales de S(t) et D(t).
4. Déterminer x(t) et y(t) sachant qu’à t = 0, on écarte B de b de sa position d’équilibre, A
étant maintenu à sa position d’équilibre, sans leur communiquer de vitesse initiale.
4.
Oscillateur harmonique spatial
On considère un point matériel M de masse m soumis à une force
− →
f conservative d’énergie
potentielle Ep =
1
2
k x x
2 + k y y
2 + k z z
2
.
1. Donner l’expression de la force
− →
f .
2. Établir l’équation du mouvement et en déduire les équations horaires.
3. Montrer que l’énergie mécanique peut s’écrire sous la forme de la somme des énergies
mécaniques d’oscillateurs harmoniques indépendants.
4. On suppose dans la suite que l’oscillateur est isotrope c’est-à-dire que k x = k y = k z .
Déterminer dans ce cas l’expression vectorielle du vecteur position
− − →
OM. On notera − → v 0 la
vitesse initiale du point M et − → r 0 sa position initiale.
5. Montrer que le mouvement est plan.
6. Dans ce plan, établir que l’équation du mouvement est une ellipse.
On rappelle que l’équation cartésienne d’une ellipse peut s’écrire :
x
2
A 2 +
y
2
B 2 +
xy
C
= 1 avec
A, B et C trois constantes positives ou négatives.
B. Exercices et problèmes
1.
Oscillations d’un pendule simple, d’après CCP TSI 2005
Un objet ponctuel A de masse m est suspendu à l’extrémité d’un fil de masse négligeable et de
longueur L dont l’autre extrémité O est fixe. On ne considère pas les mouvements en dehors
d’un plan vertical Oxy perpendiculaire à un axe Oz horizontal. On repère A par l’angle u
entre le fil et la verticale. On suppose que le référentiel terrestre est galiléen. On néglige les
frottements autour de l’axe de rotation. On désigne par − → g = g − → u x l’accélération du champ
de pesanteur.
1. Effectuer le bilan des forces s’exerçant sur A.
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On note x et y les élongations de A et B comptées à partir de leur position d’équilibre.
1. Écrire les relations à l’équilibre reliant les longueurs à vide des ressorts ( 0 pour (1) et (3)
L 0 pour (2)) et les longueurs à l’équilibre ( e pour (1) et (3) L e pour (2))).
2. Déterminer les équations du mouvement. Déduire des résultats précédents deux équations
différentielles, fonction de x et y et de leurs dérivées secondes, et de k, K et m uniquement.
3. On pose S = x + y et D = x − y. En déduire deux équations diffférentielles, l’une
uniquement en S et l’autre uniquement en D. On posera v
2
0 = k/m et v
2
1 = (k + 2K)/m.
Déterminer les expressions générales de S(t) et D(t).
4. Déterminer x(t) et y(t) sachant qu’à t = 0, on écarte B de b de sa position d’équilibre, A
étant maintenu à sa position d’équilibre, sans leur communiquer de vitesse initiale.
4.
Oscillateur harmonique spatial
On considère un point matériel M de masse m soumis à une force
− →
f conservative d’énergie
potentielle Ep =
1
2
k x x
2 + k y y
2 + k z z
2
.
1. Donner l’expression de la force
− →
f .
2. Établir l’équation du mouvement et en déduire les équations horaires.
3. Montrer que l’énergie mécanique peut s’écrire sous la forme de la somme des énergies
mécaniques d’oscillateurs harmoniques indépendants.
4. On suppose dans la suite que l’oscillateur est isotrope c’est-à-dire que k x = k y = k z .
Déterminer dans ce cas l’expression vectorielle du vecteur position
− − →
OM. On notera − → v 0 la
vitesse initiale du point M et − → r 0 sa position initiale.
5. Montrer que le mouvement est plan.
6. Dans ce plan, établir que l’équation du mouvement est une ellipse.
On rappelle que l’équation cartésienne d’une ellipse peut s’écrire :
x
2
A 2 +
y
2
B 2 +
xy
C
= 1 avec
A, B et C trois constantes positives ou négatives.
B. Exercices et problèmes
1.
Oscillations d’un pendule simple, d’après CCP TSI 2005
Un objet ponctuel A de masse m est suspendu à l’extrémité d’un fil de masse négligeable et de
longueur L dont l’autre extrémité O est fixe. On ne considère pas les mouvements en dehors
d’un plan vertical Oxy perpendiculaire à un axe Oz horizontal. On repère A par l’angle u
entre le fil et la verticale. On suppose que le référentiel terrestre est galiléen. On néglige les
frottements autour de l’axe de rotation. On désigne par − → g = g − → u x l’accélération du champ
de pesanteur.
1. Effectuer le bilan des forces s’exerçant sur A.
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