© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Oscillateurs amortis
x
v = ˙
x
Figure 7.6 Portrait de phase du régime
critique.
Suivant les valeurs des conditions initiales, on peut observer l’une des trajectoires de phase ci-contre.
On constate que la trajectoire de
phase tend très rapidement vers la
position d’équilibre à l’origine des
axes et ne fait pas plusieurs rotations autour de l’origine conformément à l’absence d’oscillations dans
ce régime.
c) Cas du régime apériodique
On peut procéder de la même façon que pour le régime critique ou faire l’analyse
suivante.
La solution s’écrit ici :
⎧
⎨
⎩
x = X 1 exp(v 1 t) + X 2 exp(v 2 t)
v = v 1 X 1 exp(v 1 t) + v 2 X 2 exp(v 2 t)
avec v 1 = −
v 0
Q
− v 0
1
Q 2 − 4 et v 2 = −
v 0
Q
+ v 0
1
Q 2 − 4.
x
v = ˙
x
Figure 7.7 Portrait de phase du régime
apériodique.
On peut noter que x et v ne peuvent
s’annuler que si X 1 et X 2 sont de
signes contraires et que ce phénomène ne se produit qu’à un instant
précis, distinct pour chaque variable.
De plus, les deux variables tendent
vers 0 quand le temps devient infini :
les trajectoires de phase convergent
vers l’origine.
Comme v 1 et v 2 sont négatifs, x et
v ne peuvent pas être de même signe à l’instant initial.
De ces éléments, on peut déduire l’allure du portrait de phase ci-contre.
d) Amortissement ou amplification
Dans ce qui précède, l’origine du plan de phases correspond à une position d’équilibre. Celle-ci est stable : toutes les trajectoires, quel que soit le régime considéré,
convergent vers l’origine en « s’enroulant » plus ou moins autour de ce point.
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Oscillateurs amortis
x
v = ˙
x
Figure 7.6 Portrait de phase du régime
critique.
Suivant les valeurs des conditions initiales, on peut observer l’une des trajectoires de phase ci-contre.
On constate que la trajectoire de
phase tend très rapidement vers la
position d’équilibre à l’origine des
axes et ne fait pas plusieurs rotations autour de l’origine conformément à l’absence d’oscillations dans
ce régime.
c) Cas du régime apériodique
On peut procéder de la même façon que pour le régime critique ou faire l’analyse
suivante.
La solution s’écrit ici :
⎧
⎨
⎩
x = X 1 exp(v 1 t) + X 2 exp(v 2 t)
v = v 1 X 1 exp(v 1 t) + v 2 X 2 exp(v 2 t)
avec v 1 = −
v 0
Q
− v 0
1
Q 2 − 4 et v 2 = −
v 0
Q
+ v 0
1
Q 2 − 4.
x
v = ˙
x
Figure 7.7 Portrait de phase du régime
apériodique.
On peut noter que x et v ne peuvent
s’annuler que si X 1 et X 2 sont de
signes contraires et que ce phénomène ne se produit qu’à un instant
précis, distinct pour chaque variable.
De plus, les deux variables tendent
vers 0 quand le temps devient infini :
les trajectoires de phase convergent
vers l’origine.
Comme v 1 et v 2 sont négatifs, x et
v ne peuvent pas être de même signe à l’instant initial.
De ces éléments, on peut déduire l’allure du portrait de phase ci-contre.
d) Amortissement ou amplification
Dans ce qui précède, l’origine du plan de phases correspond à une position d’équilibre. Celle-ci est stable : toutes les trajectoires, quel que soit le régime considéré,
convergent vers l’origine en « s’enroulant » plus ou moins autour de ce point.
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