Chapitre 7 – Oscillateurs harmoniques et amortis
x
v = ˙
x
axes propres
Figure 7.4 Trajectoire de phase du régime
pseudopériodique.
En effet, on se ramène ainsi au
portrait de phase d’un oscillateur
non amorti. On a alors établi
qu’une trajectoire de phase était
une ellipse : la courbe ˙
y(y) est
donc une ellipse.
Le portrait de phase de l’oscillateur amorti est donc une ellipse
dont la taille diminue exponentiellement au cours du temps. On
observe donc une spirale.
➤ Remarque : Si l’amortissement est très faible alors Q 1, v v 0 et
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x = X exp
−
v 0
Q
t
cos (vt + w)
˙
x −vX exp
−
v 0
Q
t
sin (vt + w)
b) Cas du régime critique
La solution s’écrit ici :
⎧
⎨
⎩
x = (X 1 t + X 2 ) exp(−v 0 t)
˙
x = (X 1 − v 0 X 2 − v 0 X 1 t) exp(−v 0 t)
On note que X 2 = x 0 et X 1 = v 0 + v 0 x 0 .
Suivant les différentes valeurs possibles de conditions initiales, l’allure de la trajectoire
de phase est légèrement différente. Pour la tracer, il suffit de regarder conjointement
l’évolution de x et de sa dérivée au cours du temps. C’est ce qui est fait sur le schéma
suivant pour un jeu de conditions initiales tel que X 2 > 0 et X 1 > v 0 X 2 :
t
t
x
x
v = ˙
x
v = ˙
x
Figure 7.5 Trajectoire de phase du régime critique.
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