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Oscillateurs amortis
c) Origine de la variation d’énergie mécanique
En appliquant le théorème de l’énergie cinétique, on obtient :
D (Ec + Ep) = W
= −
l ˙
x
2 dt < 0
L’énergie mécanique du point matériel diminue : l’énergie est perdue à cause des
frottements et est dissipée sous forme de chaleur.
2.5 Portrait de phase de l’oscillateur amorti
Il faut distinguer les différents types de mouvement en fonction de l’intensité de
l’amortissement. On notera l’équation différentielle sous la forme :
¨ x +
v 0
Q
˙
x + v
2
0 x = 0
Le discriminant de l’équation caractéristique s’écrit alors :
D = v
2
0
1
Q 2 − 4
a) Cas du régime pseudopériodique
Il s’agit du cas où D < 0 soit Q >
1
2
. Physiquement cela correspond à un amortissement faible. La solution s’écrit alors
x = X exp
−
v 0
Q
t
cos (vt + w)
avec v = v 0
1 −
1
4Q 2 . On en déduit :
v = ˙
x = X exp
−
v 0
Q
t
−
v 0
Q
cos (vt + w) − v sin (vt + w)
On étudie donc la courbe paramétrée :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x = X exp
−
v 0
Q
t
cos (vt + w)
v = X exp
−
v 0
Q
t
−
v 0
Q
cos (vt + w) − v sin (vt + w)
Étudions temporairement la courbe ˙
y (y) où :
y =
x
X exp
−
v0
Q t
et
˙
y =
˙
x
X exp
−
v0
Q t
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