Chapitre 7 – Oscillateurs harmoniques et amortis
De cette hypothèse sont déduites les expressions approchées de :
• l’énergie cinétique :
Ec
1
2
mv
2
0 X
2 exp(−2jt)v
2
0 sin
2 (v 0 t + w)
• l’énergie potentielle :
Ep
1
2
kX
2 exp(−2jt) cos
2 (v 0 t + w) =
1
2
mv
2
0 X
2 exp(−2jt) cos
2 (v 0 t + w)
• l’énergie mécanique :
Em =
1
2
mv
2
0 X
2 exp(−2jt) =
1
2
mv
2
0 X
2 exp
−
t
t
On peut alors estimer la perte d’énergie au cours d’une pseudopériode assimilée ici à
la période propre. On remarque que Em(t + T 0 ) < Em(t). Pour avoir une variation
d’énergie positive, on considère donc DEm = Em(t) − Em(t + T 0 ) :
DEm = Em(t) − Em(t + T 0 ) =
1
2
mv
2
0 X
2 exp
−
t
t
1 − exp
−
T 0
t
> 0
La variation relative d’énergie mécanique s’écrit :
DEm
Em
=
1
2 mv
2
0 X
2 exp
−
t
t
1 − exp
−
T0
t
1
2 mv 2
0 X 2 exp
−
t
t
=
1 − exp
−
T 0
t
Or dans le cas d’un amortissement très faible :
T
t
=
2p
m
k
m
l
=
2pl
mv 0
1
ce qui permet d’effectuer un développement limité et d’écrire au premier ordre :
DEm
Em
=
T
t
=
2p
v 0 t
=
2p
Q
On obtient donc une interprétation énergétique du facteur de qualité dans le cas d’un
amortissement très faible :
Q = 2p
Em
DEm
Cette expression n’est valable que pour un très faible amortissement donc quand
j v 0 .
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