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Oscillateurs amortis
L’allure est la même que pour le régime apériodique. Dans ce régime, on n’observe pas
d’oscillations et le retour à la position d’équilibre est plus rapide que dans le cas d’un
régime pseudopériodique. D’autre part, il s’agit d’un régime théorique : d’un point
de vue physique, il est la limite entre les deux autres cas et ne sera jamais observé car
l’égalité ne sera jamais rigoureusement obtenue.
2.4 Aspects énergétiques
On limite l’étude au cas où on a effectivement des oscillations donc au régime pseudopériodique :
x = X exp(−jt) cos (vt + w)
avec j =
l
2m
, v
2
0 =
k
m
et v 0 = v
1 −
j 2
v
2
0
.
La vitesse a pour expression :
˙
x = X exp(−jt)
− j cos (vt + w) − v sin (vt + w)
a) Expression des énergies cinétique, potentielle et mécanique
Les différentes énergies sont :
• énergie cinétique :
Ec =
1
2
m ˙
x
2 =
1
2
mX
2 exp(−2jt)
j cos (vt + w) + v sin (vt + w)
2
• énergie potentielle :
Ep =
1
2
kx
2 =
1
2
kX
2 exp(−2jt) cos
2 (vt + w) =
1
2
mv
2
0 X
2 exp(−2jt) cos
2 (vt + w)
car k = mv
2
0
• énergie mécanique :
Em = Ec + Ep
=
1
2
mX
2 exp(−2jt)
(j cos (vt + w) + v sin (vt + w))
2 + v
2
0 cos
2 (vt + w)
L’énergie mécanique n’est donc pas constante. Elle diminue en moyenne selon une
loi en exp(−2jt) : il y a dissipation d’énergie.
b) Cas d’un amortissement très faible
On se place dans le cas où
j v 0
On a déjà établi qu’alors on pouvait assimiler pseudo-pulsation et pulsation propre :
v v 0
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