Chapitre 7 – Oscillateurs harmoniques et amortis
Dans le cas d’un amortissement très faible
j
v 0
1, on peut effectuer un développement limité de la pseudopériode à l’ordre 2 en
a
v 0
:
T
2p
v 0
1 +
j
2
2v 2
0
+ ...
T 0
On peut identifier la pseudopériode à la période propre dans le cas d’un amortissement
très faible.
À la limite où il n’y a pas de frottement, on retrouve l’égalité avec la période, ce qui
est normal et rassurant.
Décrément logarithmique
Il caractérise l’amortissement :
d = ln
A(t)
A(t + T)
= ln
A(t)
A(t) exp(−jT)
= jT =
2p
v 0
1 −
j 2
v 2
0
c) Régime apériodique
x
t
x 0
x(0) = x 0
v(0) = v 0
pseudopériodique
critique
apériodique
Figure 7.3 Comparaison des régimes d’un
oscillateur amorti.
Il correspond au cas D > 0 donc à
un fort frottement. L’équation caractéristique admet alors deux racines
réelles :
r ± = −j ±
j 2 − v 2
0
Comme j <
j 2 − v 2
0 , les deux
solutions sont négatives.
La solution de l’équation différentielle :
x = X 1 exp(r + t) + X 2 exp(r − t)
est la somme de deux exponentielles décroissantes. L’amplitude diminue au cours du
temps sans que n’apparaissent d’oscillations, d’où le nom donné de régime apériodique à
ce type de solutions.
d) Régime critique
Ce régime correspond au cas D = 0. L’équation caractéristique admet
r = −j = −v 0
comme racine double. La solution s’écrit alors
x = (X 1 t + X 2 ) exp(−v 0 t)
où X 1 et X 2 sont des constantes à déterminer à partir des conditions initiales.
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