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Oscillateurs amortis
Les deux racines de l’équation caractéristique sont complexes conjuguées :
r ± = −j ± i
v 2
0 − j 2 = −j ± iv
La solution de l’équation différentielle s’écrit donc :
x = exp(−jt) (X 1 cos vt + X 2 sin vt) = X exp(−jt) cos (vt + w)
où (X 1 , X 2 ) ou (X, w) sont des couples de constantes à déterminer à partir des conditions initiales.
On peut écrire la solution sous la forme du produit d’une amplitude dépendant du
temps A(t) = X exp(−jt) et d’un terme d’oscillations cos (vt + w). Des oscillations
sont observées mais leur amplitude A(t) diminue exponentiellement au fur et à mesure
qu’ont lieu les oscillations. On verra que cette décroissance correspond à une dissipation d’énergie due au frottement.
x
t
x 0
x(0) = x 0 v(0) = v 0
pseudopériodique
décroissance exponentielle
de l’amplitude
oscillations
Figure 7.2 Régime pseudopériodique de l’oscillateur amorti.
Pour ce type de mouvement, on définit deux grandeurs : la pseudopériode et le
décrément logarithmique.
Pseudopériode
C’est l’intervalle de temps entre trois passages par la position d’équilibre, à savoir la
période du cos (vt + w) qui vaut :
T =
2p
v
=
2p
v 0
1 −
j 2
v
2
0
Or, dans le cas étudié ici,
j
v 0
=
l
2mv 0
< 1, on en déduit que T > T 0 en notant
T 0 =
2p
v 0
la période de l’oscillateur harmonique associé ou période propre.
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