Chapitre 7 – Oscillateurs harmoniques et amortis
coefficient de la dérivée première était notée 2jv 0 au lieu de 2j. Ici cela reviendrait à
poser j =
l
√
km
. Il faudra effectuer ce remplacement pour retrouver rigoureusement
les mêmes expressions.
D’autres écritures pourraient être adoptées :
• en fonction de v 0 et d’un temps de relaxation t : on introduit la quantité t
t =
m
l
=
1
2j
qui est homogène à un temps et qu’on appelle temps de relaxation. L’équation
différentielle peut alors se réécrire :
¨ x +
1
t
˙
x + v
2
0 x = 0
• en fonction de v 0 et du facteur de qualité Q : le facteur de qualité est défini comme
la quantité sans dimension qu’il est possible de former à l’aide de la pulsation propre
et du temps de relaxation :
Q = v 0 t = 2p
t
T 0
On peut alors écrire l’équation différentielle sous la forme :
¨ x +
v 0
Q
˙
x + v
2
0 x = 0
Pour résoudre l’équation différentielle sous la forme (1), on introduit l’équation caractéristique associée :
r
2 + 2jr + v
2
0 = 0
Si on appelle r 1 et r 2 les solutions de l’équation caractéristique, la solution s’écrit :
x(t) = Ae
r1t + Be
r2t
Plusieurs types de solutions sont distingués suivant le signe du discriminant réduit de
l’équation caractéristique :
D
= j
2
− v
2
0
b) Régime pseudopériodique
Il s’agit du cas où le discriminant est négatif :
j < v 0 ⇔
l
2m
<
k
m
⇔ v 0 t >
1
2
⇔ Q >
1
2
Cela correspond donc au cas où le frottement défini grâce au coefficient l est faible.
On peut noter que l’oscillateur harmonique correspond à la limite l = 0.
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