Chapitre 7 – Oscillateurs harmoniques et amortis
2. Oscillateurs amortis
Dans le paragraphe précédent, on n’a pas tenu compte d’éventuelles forces de frottement. Or les frottements existent toujours mais se font plus ou moins ressentir. On
s’intéresse ici au cas où on a un frottement fluide proportionnel à la vitesse dont la
force s’écrit :
− →
f = −l − → v
2.1 Équation différentielle du mouvement
On établit l’équation différentielle du mouvement sur l’exemple d’un oscillateur à
ressort.
On procède toujours avec les quatre étapes :
1. Système : point matériel de masse m se déplaçant le long d’un axe Ox, dont l’origine de l’axe est fixée au niveau de la position à l’équilibre du point matériel,
2. Référentiel du laboratoire considéré comme galiléen,
3. Bilan des forces :
• la force de rappel −kx − → u x ,
• la force de frottement −l ˙
x − → u x ,
• le poids qui est compensé soit par la réaction de l’axe dans le cas où le pendule
est horizontal soit « par la position d’équilibre » dans le cas où le pendule est
vertical.
4. Résolution par application du principe fondamental de la dynamique, projeté sur
l’axe Ox :
m¨ x = −kx − l ˙
x
L’équation différentielle du mouvement est donc
¨ x +
l
m
˙
x +
k
m
x = 0
2.2 Analogie avec le circuit électrique R, L, C série
On a déjà rencontré ce type d’équation différentielle dans le cours d’électricité lors de
l’étude du circuit R, L, C série en court-circuit. Les phénomènes d’oscillations sont
donc présents dans divers domaines de la physique comme la mécanique et l’électrocinétique.
Pour donner un sens physique à l’analogie qui va être établie, il faut réécrire l’équation
différentielle électrique en fonction de la charge q de la capacité au lieu de sa tension
u et considérer le circuit R, L, C série en court-circuit. On a la relation q = Cu, ce
qui permet d’obtenir :
L¨ q + R˙ q +
q
C
= 0
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2. Oscillateurs amortis
Dans le paragraphe précédent, on n’a pas tenu compte d’éventuelles forces de frottement. Or les frottements existent toujours mais se font plus ou moins ressentir. On
s’intéresse ici au cas où on a un frottement fluide proportionnel à la vitesse dont la
force s’écrit :
− →
f = −l − → v
2.1 Équation différentielle du mouvement
On établit l’équation différentielle du mouvement sur l’exemple d’un oscillateur à
ressort.
On procède toujours avec les quatre étapes :
1. Système : point matériel de masse m se déplaçant le long d’un axe Ox, dont l’origine de l’axe est fixée au niveau de la position à l’équilibre du point matériel,
2. Référentiel du laboratoire considéré comme galiléen,
3. Bilan des forces :
• la force de rappel −kx − → u x ,
• la force de frottement −l ˙
x − → u x ,
• le poids qui est compensé soit par la réaction de l’axe dans le cas où le pendule
est horizontal soit « par la position d’équilibre » dans le cas où le pendule est
vertical.
4. Résolution par application du principe fondamental de la dynamique, projeté sur
l’axe Ox :
m¨ x = −kx − l ˙
x
L’équation différentielle du mouvement est donc
¨ x +
l
m
˙
x +
k
m
x = 0
2.2 Analogie avec le circuit électrique R, L, C série
On a déjà rencontré ce type d’équation différentielle dans le cours d’électricité lors de
l’étude du circuit R, L, C série en court-circuit. Les phénomènes d’oscillations sont
donc présents dans divers domaines de la physique comme la mécanique et l’électrocinétique.
Pour donner un sens physique à l’analogie qui va être établie, il faut réécrire l’équation
différentielle électrique en fonction de la charge q de la capacité au lieu de sa tension
u et considérer le circuit R, L, C série en court-circuit. On a la relation q = Cu, ce
qui permet d’obtenir :
L¨ q + R˙ q +
q
C
= 0
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