© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Oscillateurs harmoniques
Pour cela, on dispose de deux méthodes :
• Utilisation de l’intégrale première du mouvement :
On utilise la conservation de l’énergie mécanique et on obtient :
1
2
v
2 +
1
2
v
2
0 x
2 = C
où C désigne une constante qui varie avec les conditions initiales. En notant
A = 2C > 0 et B =
2C
v 2
0
> 0, l’équation de la courbe se met sous la forme :
v
2
A
+
x
2
B
= 1
qui est l’équation cartésienne d’une ellipse.
• Explicitation de la solution :
La résolution de l’équation différentielle conduit à la solution :
x = A cos(v 0 t + w)
où A et w sont des constantes variant avec les conditions initiales
1 . On en déduit
v = ˙
x = −Av 0 sin(v 0 t + w) et comme sin
2 x + cos
2 x = 1 pour tout x on a :
v
2
A 2 v 2
0
+
x
2
A 2 = 1
On retrouve l’équation cartésienne d’une ellipse.
Lorsque la constante C est nulle, la trajectoire de phase est réduite au point de coordonnées x = 0 et v = 0. C’est le centre des différentes ellipses, il correspond à la
position d’équilibre du système.
v = ˙
x
x
Figure 7.1 Portrait de phase de
l’oscillateur harmonique.
Le portrait de phase d’un oscillateur
harmonique est donc un ensemble
d’ellipses de centre commun qui se
déduisent les unes des autres par
homothétie.
On peut remarquer que :
• en traçant (x,
v
v0 ), les trajectoires de
phase sont des cercles,
• dans le plan (x, v), les trajectoires de phase seront des cercles
lorsque v 0 = 1 rad.s −1 , ce
qui correspond à une fréquence
f 0 =
v0
2p = 0, 159 Hz.
1 Si les conditions initiales sont x0 et v0 alors w = −Arctan
v 0
v 0 x 0
et A =
x 0
cos w
.
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