Chapitre 7 – Oscillateurs harmoniques et amortis
Ep étant défini à une constante près, on a choisi Ep(0) = 0. L’énergie potentielle du
système s’écrit donc :
Ep =
1
2
kx
2 =
1
2
kX
2 cos
2 (v 0 t + w)
L’énergie cinétique est par définition :
Ec =
1
2
m ˙
x
2
Or ˙
x = −Xv 0 sin (v 0 t + w) donc
Ec =
1
2
mX
2 v
2
0 sin
2 (v 0 t + w)
Comme v
2
0 =
k
m
, on peut écrire :
Ec =
1
2
kX
2 sin
2 (v 0 t + w)
L’énergie mécanique, somme des énergies potentielle et cinétique, s’écrit donc :
Em = Ep + Ec =
1
2
kx
2 +
1
2
m ˙
x
2
=
1
2
kX
2 cos
2 (v 0 t + w) +
1
2
kX
2 sin
2 (v 0 t + w) =
1
2
kX
2
L’énergie mécanique est une constante du mouvement, ce qui n’a rien de surprenant
puisque toutes les forces sont conservatives.
Les valeurs moyennes des énergies potentielle et cinétique sont :
< Ep >=
1
T
T
0
Ep(t) dt =
1
T
T
0
1
2
kX
2 cos
2 (v 0 t + w) dt =
1
4
kX
2
et
< Ec >=
1
T
T
0
Ec(t) dt =
1
T
T
0
1
2
kX
2 sin
2 (v 0 t + w) dt =
1
4
kX
2
Les valeurs moyennes des énergies potentielle et cinétique sont égales, il y a en permanence un transfert d’énergie entre les deux formes, potentielle et cinétique.
1.3 Portrait de phase de l’oscillateur harmonique
L’équation du mouvement m¨ x + kx = 0 peut se mettre sous la forme :
⎧
⎨
⎩
˙
v = g(x, ˙
x) = −
k
m
x
˙
x = v
On peut donc chercher à établir l’allure du portrait de phase.
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