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Oscillateurs harmoniques
1.2 Étude du mouvement d’un oscillateur harmonique
On note l’équation différentielle sous la forme :
¨ x + v
2
0 x = 0
quel que soit le système dont elle est issue. Dans les différents exemples envisagés
précédemment, la constante étant toujours positive, on la prend sous la forme d’un
réel au carré sans que cela n’apporte de conditions supplémentaires. On peut noter
que dans le cas d’un point matériel relié à un ressort, v 0 =
k
m
.
a) Caractéristiques du mouvement
On rappelle que la solution de cette équation différentielle s’écrit :
x(t) = A cos v 0 t + B sin v 0 t
où A et B sont des constantes réelles à déterminer à partir des conditions initiales. On
peut également la mettre sous la forme :
x(t) = X cos (v 0 t + w)
avec X =
√
A 2 + B 2 , cos w =
A
X
et sin w = −
B
X
.
• X désigne l’amplitude du mouvement,
• v 0 sa pulsation,
• w la phase initiale.
A et B, ou X et w, sont des constantes à déterminer à partir des conditions initiales.
On peut noter qu’il faut deux conditions initiales pour obtenir les deux constantes, ce
pourra être la position et la vitesse initiales.
Le mouvement est périodique, de période T =
2p
v 0
indépendante de l’amplitude du
mouvement : on dit qu’il y a isochronisme des oscillations.
b) Aspect énergétique
Dans ce paragraphe, on utilise l’expression de la solution sous la forme :
x(t) = X cos(wt + w).
La seule force considérée ici est une force conservative dérivant du potentiel
Ep =
1
2
kx
2
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