Chapitre 7 – Oscillateurs harmoniques et amortis
Dans le chapitre sur les aspects énergétiques, on a établi que si Ep(x) admet un minimum pour x = x 0 , il existe un point d’équilibre stable en x = x 0 . On peut effectuer
un développement limité à l’ordre 2 de l’énergie potentielle au voisinage de ce point :
Ep(x) = Ep(x 0 ) + (x − x 0 )
dEp
dx
x=x0
+
(x − x 0 )
2
2
d
2 Ep
dx 2
x=x0
Le fait d’effectuer un développement limité restreint l’étude à de faibles amplitudes
autour de x 0 de manière à pouvoir écrire :
|x − x 0 | | |x 0 |
Autrement dit, on se place au voisinage de l’équilibre.
Puisqu’on a un minimum en x = x 0 ,
dEp
dx
x=x0
= 0
et on peut assimiler la fonction Ep(x) à une parabole au voisinage de l’équilibre :
Ep(x) = Ep(x 0 ) +
(x − x 0 )
2
2
d
2 Ep
dx 2
x=x0
en faisant l’hypothèse que
d
2 Ep
dx 2
x=x0
= 0
On notera k cette quantité.
On en déduit alors l’expression de la force au voisinage de la position d’équilibre :
f x = −
dEp
dx
= −k (x − x 0 )
On peut d’ores et déjà noter l’analogie évidente entre l’expression de cette force et
celle de la force de rappel d’un ressort.
La projection du principe fondamental sur l’axe Ox donne :
m¨ x = −k (x − x 0 )
soit
¨ u +
k
m
u = 0
en posant u = x − x 0 . On retrouve la même équation différentielle que dans les deux
exemples précédents. Il s’agit de celle d’un oscillateur harmonique.
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