4. L’anneau est initialement en A (u = −p/2), il est lancé à une vitesse V 0 dans le sens
trigonométrique.
a) À quelle condition sur la vitesse V 0 l”anneau peut-il atteindre le point F (u = 2p) ?
b) Cette condition étant remplie, donner l’expression de sa vitesse V F en fonction des données
du problèmes.
c) À quelle condition sur V 0 , l’anneau sort-il de la piste en S (u = 5p/2).
8.
Pendule simple modifié, d’après ENSTIM 2005
On considère un pendule simple modifié (figure 6.14). Un mobile ponctuel M de masse m, est
accroché à l’extrémité d’un fil inextensible de longueur L et de masse négligeable, dont l’autre
extrémité est fixe en O. On néglige tout frottement. Lorsque u > 0, le système se comporte
comme un pendule simple de centre O et de longueur de fil L. À la verticale et en dessous
de O, un clou est planté en O
avec OO
= L/3, qui bloquera la partie haute du fil vers la
gauche.
O
O
O
O
u 0
u 2
L
3
2L
3
+
M(m)
− → u r
− → u u
clou
Figure 6.14
Quand u < 0, le système se comporte donc comme un pendule simple de centre O
et de
longueur de fil 2L/3. On repère la position du pendule par l’angle u qu’il fait avec la verticale.
À la date t = 0, on abandonne sans vitesse initiale le mobile M en donnant au fil un inclinaison
initiale u(0) = u 0 > 0. On note t 1 la date de la première rencontre du fil avec le clou, t 2 la
date de première annulation de la vitesse du mobile pour u < 0. L’intervalle de date [0, t 1 [
est nommé première phase du mouvement, l’intervalle ]t 1 , t 2 ] est nommé deuxième phase. À
la date t
−
1 immédiatement inférieure à t 1 , le fil n’a pas encore touché le clou et à la date t
+
1 ,
immédiatement supérieure, le fil vient de toucher le clou.
1. Par le théorème de la puissance mécanique, établir l’équation diffférentielle vérifiée par u
pour la première phase du mouvement.
2. Dans l’hypothèse des petites oscillations, on suppose sin u u. Déterminer la durée dt I de
la première phase du mouvement sans résoudre l’équation.
3. En utilisant le théorème de l’énergie mécanique, déterminer la vitesse v
−
1 de M à la date
t
−
1 . En déduire la vitesse angulaire v
−
1 à cette date.
169
trigonométrique.
a) À quelle condition sur la vitesse V 0 l”anneau peut-il atteindre le point F (u = 2p) ?
b) Cette condition étant remplie, donner l’expression de sa vitesse V F en fonction des données
du problèmes.
c) À quelle condition sur V 0 , l’anneau sort-il de la piste en S (u = 5p/2).
8.
Pendule simple modifié, d’après ENSTIM 2005
On considère un pendule simple modifié (figure 6.14). Un mobile ponctuel M de masse m, est
accroché à l’extrémité d’un fil inextensible de longueur L et de masse négligeable, dont l’autre
extrémité est fixe en O. On néglige tout frottement. Lorsque u > 0, le système se comporte
comme un pendule simple de centre O et de longueur de fil L. À la verticale et en dessous
de O, un clou est planté en O
avec OO
= L/3, qui bloquera la partie haute du fil vers la
gauche.
O
O
O
O
u 0
u 2
L
3
2L
3
+
M(m)
− → u r
− → u u
clou
Figure 6.14
Quand u < 0, le système se comporte donc comme un pendule simple de centre O
et de
longueur de fil 2L/3. On repère la position du pendule par l’angle u qu’il fait avec la verticale.
À la date t = 0, on abandonne sans vitesse initiale le mobile M en donnant au fil un inclinaison
initiale u(0) = u 0 > 0. On note t 1 la date de la première rencontre du fil avec le clou, t 2 la
date de première annulation de la vitesse du mobile pour u < 0. L’intervalle de date [0, t 1 [
est nommé première phase du mouvement, l’intervalle ]t 1 , t 2 ] est nommé deuxième phase. À
la date t
−
1 immédiatement inférieure à t 1 , le fil n’a pas encore touché le clou et à la date t
+
1 ,
immédiatement supérieure, le fil vient de toucher le clou.
1. Par le théorème de la puissance mécanique, établir l’équation diffférentielle vérifiée par u
pour la première phase du mouvement.
2. Dans l’hypothèse des petites oscillations, on suppose sin u u. Déterminer la durée dt I de
la première phase du mouvement sans résoudre l’équation.
3. En utilisant le théorème de l’énergie mécanique, déterminer la vitesse v
−
1 de M à la date
t
−
1 . En déduire la vitesse angulaire v
−
1 à cette date.
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