Chapitre 6 – Aspects énergétiques de la dynamique du point
2. Dans la suite, en plus du ressort précédent, on attache la bille à un deuxième ressort identique au premier dont la seconde extrémité est fixée en A.
a) Déterminer l’angle b entre MO et MA en fonction de u.
b) Établir l’expression de la longueur MA en fonction de R et u.
c) Établir l’équation différentielle du mouvement.
d) Les ressorts interviennent-ils dans le mouvement ?
e) Définir la force résultant des tensions des ressorts et justifier d’une deuxième manière la
réponse de la question précédente.
f) Exprimer l’énergie potentielle de M en fonction de R, m, g et u en prenant comme origine
des potentiels le point le plus bas du cerceau.
g) Retrouver ainsi l’équation du mouvement.
h) Quelles sont les positions d’équilibre ?
i) Sont-elles stables ?
j) Exprimer la réaction
− →
N du cerceau en fonction de u sachant qu’on abandonne la bille
depuis u = u 0 sans vitesse initiale.
k) Établir la condition à vérifier pour que la bille quitte le cerceau.
l) En déduire une condition nécessaire en fonction de k, R, m et g pour qu’il en soit ainsi
pour u 0 = 0.
7.
Mouvement d’un anneau sur une piste circulaire, d’après CCP 2004
A
B
C 1
C 2
E
F
S
u
u
R 1
R 2
− → g
M
M
Figure 6.13
On considère le dispositif de la figure
(6.13) où un objet assimilable à un point
matériel M de masse m se déplace solidairement à une piste formée de deux parties
circulaires de rayon R 1 et R 2 , de centre C 1
et C 2 dans un plan vertical.
On repère la position de M par l’angle u .
Pour la partie (1), u ∈
−
p
2
, p
et pour
la partie (2), u ∈
p,
5p
2
. Il n’y a pas de
frottement et on note g l’accélération de la
pesanteur.
1.
Exprimer l’énergie potentielle de
pesanteur E p du point M en supposant
E p = 0 au point B (u = p). On distinguera les cas (1) et (2).
2. Tracer l’allure de E p (u).
3. Déterminer les positions angulaires
d’équilibre et leur stabilité.
168
2. Dans la suite, en plus du ressort précédent, on attache la bille à un deuxième ressort identique au premier dont la seconde extrémité est fixée en A.
a) Déterminer l’angle b entre MO et MA en fonction de u.
b) Établir l’expression de la longueur MA en fonction de R et u.
c) Établir l’équation différentielle du mouvement.
d) Les ressorts interviennent-ils dans le mouvement ?
e) Définir la force résultant des tensions des ressorts et justifier d’une deuxième manière la
réponse de la question précédente.
f) Exprimer l’énergie potentielle de M en fonction de R, m, g et u en prenant comme origine
des potentiels le point le plus bas du cerceau.
g) Retrouver ainsi l’équation du mouvement.
h) Quelles sont les positions d’équilibre ?
i) Sont-elles stables ?
j) Exprimer la réaction
− →
N du cerceau en fonction de u sachant qu’on abandonne la bille
depuis u = u 0 sans vitesse initiale.
k) Établir la condition à vérifier pour que la bille quitte le cerceau.
l) En déduire une condition nécessaire en fonction de k, R, m et g pour qu’il en soit ainsi
pour u 0 = 0.
7.
Mouvement d’un anneau sur une piste circulaire, d’après CCP 2004
A
B
C 1
C 2
E
F
S
u
u
R 1
R 2
− → g
M
M
Figure 6.13
On considère le dispositif de la figure
(6.13) où un objet assimilable à un point
matériel M de masse m se déplace solidairement à une piste formée de deux parties
circulaires de rayon R 1 et R 2 , de centre C 1
et C 2 dans un plan vertical.
On repère la position de M par l’angle u .
Pour la partie (1), u ∈
−
p
2
, p
et pour
la partie (2), u ∈
p,
5p
2
. Il n’y a pas de
frottement et on note g l’accélération de la
pesanteur.
1.
Exprimer l’énergie potentielle de
pesanteur E p du point M en supposant
E p = 0 au point B (u = p). On distinguera les cas (1) et (2).
2. Tracer l’allure de E p (u).
3. Déterminer les positions angulaires
d’équilibre et leur stabilité.
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