6. On lâche M sans vitesse initiale à une distance a de chacune des charges. Déterminer
graphiquement puis par le calcul les distances d’approche minimales de O et O
et l’énergie
cinétique maximale.
7. On lâche sans vitesse initiale le point M (de charge q) au voisinage de la position
d’équilibre (C.f. question 2). Établir l’équation différentielle du mouvement au voisinage de
cette position ainsi que la pulsation des petites oscillations. On rappelle que si x 1 alors
(1 + x)
a
1 + ax +
a(a − 1)x
2
2
.
5.
Tige avec ressort
O
M
X
z
a
Figure 6.12
On considère une tige fixe, dans un plan vertical xOz, faisant
l’angle a avec l’axe Oz. Un anneau M de masse m est enfilé
sur la tige et astreint à se déplacer sans frottement le long de
celle-ci. Cet anneau est également relié à un ressort de raideur
k et de longueur à vide v dont l’autre extrémité est fixée en
O. On repère la position de M par OM = X.
1. Quelles sont les forces conservatives appliquées à M ?
Déterminer l’expression de leur énergie potentielle E p en fonction de X et a.
2. Établir l’équation différentielle du mouvement à l’aide du théorème de l’énergie mécanique.
3. a) Étudier la fonction E p (X) dans le cas où mg cos(a) < kl v . Tracer son allure.
b) Discuter sur le graphique les mouvement possibles en prenant à t = 0 les conditions initiales
suivantes : X = l v et
dX
dt
= V 0 . Préciser la valeur maximale de V 0 pour que le mouvement se
fasse entre deux positions extrêmes X 1 > 0 et X 2 > 0.
c) Déterminer les fonctions V (X) et X(t) dans les conditions de la question précédente.
6.
Mouvement d’une bille reliée à un ou deux ressorts sur un cercle
On considère le mouvement d’une bille M de masse m pouvant coulisser sans frottement sur
un cerceau de centre O et de rayon R. On note AB le diamètre horizontal du cerceau, Ox
l’axe horizontal, Oy l’axe vertical et u l’angle entre Ox et OM. Le sens trigonométrique est
pris positif.
1. Dans un premier temps, la bille est attachée à un ressort de longueur à vide nulle et de
raideur k dont la seconde extrémité est fixée en B.
a) Déterminer l’angle a entre MO et MB en fonction de u.
b) Établir l’expression de la longueur de ressort en fonction de R et u.
c) Établir l’équation différentielle du mouvement.
d) Déterminer les positions d’équilibre.
e) On écarte la bille de sa position d’équilibre. Écrire l’équation du mouvement.
f) A quelle condition a-t-on des oscillations ?
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graphiquement puis par le calcul les distances d’approche minimales de O et O
et l’énergie
cinétique maximale.
7. On lâche sans vitesse initiale le point M (de charge q) au voisinage de la position
d’équilibre (C.f. question 2). Établir l’équation différentielle du mouvement au voisinage de
cette position ainsi que la pulsation des petites oscillations. On rappelle que si x 1 alors
(1 + x)
a
1 + ax +
a(a − 1)x
2
2
.
5.
Tige avec ressort
O
M
X
z
a
Figure 6.12
On considère une tige fixe, dans un plan vertical xOz, faisant
l’angle a avec l’axe Oz. Un anneau M de masse m est enfilé
sur la tige et astreint à se déplacer sans frottement le long de
celle-ci. Cet anneau est également relié à un ressort de raideur
k et de longueur à vide v dont l’autre extrémité est fixée en
O. On repère la position de M par OM = X.
1. Quelles sont les forces conservatives appliquées à M ?
Déterminer l’expression de leur énergie potentielle E p en fonction de X et a.
2. Établir l’équation différentielle du mouvement à l’aide du théorème de l’énergie mécanique.
3. a) Étudier la fonction E p (X) dans le cas où mg cos(a) < kl v . Tracer son allure.
b) Discuter sur le graphique les mouvement possibles en prenant à t = 0 les conditions initiales
suivantes : X = l v et
dX
dt
= V 0 . Préciser la valeur maximale de V 0 pour que le mouvement se
fasse entre deux positions extrêmes X 1 > 0 et X 2 > 0.
c) Déterminer les fonctions V (X) et X(t) dans les conditions de la question précédente.
6.
Mouvement d’une bille reliée à un ou deux ressorts sur un cercle
On considère le mouvement d’une bille M de masse m pouvant coulisser sans frottement sur
un cerceau de centre O et de rayon R. On note AB le diamètre horizontal du cerceau, Ox
l’axe horizontal, Oy l’axe vertical et u l’angle entre Ox et OM. Le sens trigonométrique est
pris positif.
1. Dans un premier temps, la bille est attachée à un ressort de longueur à vide nulle et de
raideur k dont la seconde extrémité est fixée en B.
a) Déterminer l’angle a entre MO et MB en fonction de u.
b) Établir l’expression de la longueur de ressort en fonction de R et u.
c) Établir l’équation différentielle du mouvement.
d) Déterminer les positions d’équilibre.
e) On écarte la bille de sa position d’équilibre. Écrire l’équation du mouvement.
f) A quelle condition a-t-on des oscillations ?
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