2. Déterminer la vitesse de la personne en bas du toboggan. Comparer la à celle qu’il aurait
s’il n’y avait pas de frottement.
5.
Interaction entre particules chargées
On considère deux particules A (fixe) et B (mobile), de même masse m et de charge respective
q A et q B . On rappelle que la force de Coulomb est
− →
f =
q A q B
4pe 0
− →
AB
AB 3 . C’est la seule force à
prendre en compte dans cet exercice.
1. Déterminer l’énergie potentielle dont dérive la force
− →
f .
2. On suppose q A = q B = q. On lance B vers A avec la vitesse v 0 . À quelle distance minimale
B s’approche-t-elle de A ?
3. On suppose q A = −q B = q. Quelle vitesse minimale faut-il donner à B pour qu’elle puisse
s’échapper à l’infini ?
B. Exercices et problèmes
1.
Cycliste au Tour de France, d’après Centrale 2006
Un cycliste assimilé à un point matériel se déplace en ligne droite. Il fournit une puissance
mécanique constante P, les forces de frottement de l’air sont proportionnelles au carré de la
vitesse v du cycliste (
− →
F f = −kv − → v ), k est une constante positive. On néglige les forces de
frottement du sol sur la roue et on choisit un axe horizontal Ox.
1. En appliquant le théorème de la puissance cinétique, établir une équation différentielle en
v et montrer qu’on peut la mettre sous la forme :
mv
2 dv
dx
= P − kv
3
2. a) On pose f (x) = P − kv
3 . Déduire des résultats précédent, l’équation différentielle
vérifiée par f .
b) Déterminer l’expression de la vitesse en fonction de x, s’il aborde la ligne droite avec une
vitesse v 0 .
2.
Bille dans une gouttière, d’après ICNA 2006
O
C
M
A
− → e x
− → e y
u
x
y
h
− → g
Figure 6.11
Une bille, assimilée à un point matériel M de
masse m, est lâchée sans vitesse initiale depuis
le point A d’une gouttière situé à une hauteur h du point le plus bas O de la gouttière.
Cette dernière est terminée en O par un guide
circulaire de rayon a, disposé verticalement.
La bille, dont on suppose que le mouvement
a lieu sans frottement, peut éventuellement
quitter la gouttière à l’intérieur du cercle. On
désigne par − → g = −g − → u y l’accélération de la
pesanteur.
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s’il n’y avait pas de frottement.
5.
Interaction entre particules chargées
On considère deux particules A (fixe) et B (mobile), de même masse m et de charge respective
q A et q B . On rappelle que la force de Coulomb est
− →
f =
q A q B
4pe 0
− →
AB
AB 3 . C’est la seule force à
prendre en compte dans cet exercice.
1. Déterminer l’énergie potentielle dont dérive la force
− →
f .
2. On suppose q A = q B = q. On lance B vers A avec la vitesse v 0 . À quelle distance minimale
B s’approche-t-elle de A ?
3. On suppose q A = −q B = q. Quelle vitesse minimale faut-il donner à B pour qu’elle puisse
s’échapper à l’infini ?
B. Exercices et problèmes
1.
Cycliste au Tour de France, d’après Centrale 2006
Un cycliste assimilé à un point matériel se déplace en ligne droite. Il fournit une puissance
mécanique constante P, les forces de frottement de l’air sont proportionnelles au carré de la
vitesse v du cycliste (
− →
F f = −kv − → v ), k est une constante positive. On néglige les forces de
frottement du sol sur la roue et on choisit un axe horizontal Ox.
1. En appliquant le théorème de la puissance cinétique, établir une équation différentielle en
v et montrer qu’on peut la mettre sous la forme :
mv
2 dv
dx
= P − kv
3
2. a) On pose f (x) = P − kv
3 . Déduire des résultats précédent, l’équation différentielle
vérifiée par f .
b) Déterminer l’expression de la vitesse en fonction de x, s’il aborde la ligne droite avec une
vitesse v 0 .
2.
Bille dans une gouttière, d’après ICNA 2006
O
C
M
A
− → e x
− → e y
u
x
y
h
− → g
Figure 6.11
Une bille, assimilée à un point matériel M de
masse m, est lâchée sans vitesse initiale depuis
le point A d’une gouttière situé à une hauteur h du point le plus bas O de la gouttière.
Cette dernière est terminée en O par un guide
circulaire de rayon a, disposé verticalement.
La bille, dont on suppose que le mouvement
a lieu sans frottement, peut éventuellement
quitter la gouttière à l’intérieur du cercle. On
désigne par − → g = −g − → u y l’accélération de la
pesanteur.
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