Chapitre 6 – Aspects énergétiques de la dynamique du point
Suivant les conditions initiales et la valeur correspondante de l’énergie mécanique,
les trajectoires de phase ont différentes allures. On présente dans ce qui suit l’analyse
de quelques cas correspondant tous à une vitesse initiale nulle et différentes positions
initiales x 0 . On note Em l’énergie mécanique.
• Pour une énergie mécanique Em = E 6 , on a une seule position possible correspondant à une position d’équilibre stable, le point matériel ne bouge pas, la trajectoire
de phase se réduit au point d’abscisse x = x 6 de l’axe des abscisses.
• Pour une énergie mécanique Em = E 5 et une position initiale x 0 = x 5 , on a un
mouvement oscillatoire entre les points d’abscisse x 5 et x
5 autour de la position
d’équilibre x = x 6 , la trajectoire de phase est fermée et parcourue dans le sens des
aiguilles d’une montre. Le mouvement est périodique.
• Pour une énergie mécanique Em = E 4 , on distingue deux cas suivant la position
initiale :
◦ x 0 = x 4 : on est dans une situation analogue à celle du cas x 0 = x 6 et Em = E 6 ,
le point ne quitte pas sa position d’équilibre stable, la trajectoire de phase est le
point d’abscisse x = x 4 de l’axe des abscisses.
◦ x 0 = x
4 : on a un mouvement oscillatoire entre les points d’abscisse x
4 et x
4
autour de la position d’équilibre x = x 6 , la trajectoire de phase est fermée et
parcourue dans le sens des aiguilles d’une montre, le mouvement est périodique.
• Pour une énergie mécanique Em = E 3 , on a deux mouvements oscillatoires possibles sans qu’un passage de l’un à l’autre puisse avoir lieu : si x 0 = x 3 , le point
oscille entre les points d’abscisse x 3 et x
3 autour de la position d’équilibre x = x 4 et
si x 0 = x
3 , il oscille entre les points d’abscisse x
3 et x
3 autour de la position d’équilibre x = x 6 ; dans les deux cas, la trajectoire de phase est fermée et parcourue dans
le sens des aiguilles d’une montre, le mouvement est périodique.
• Pour une énergie mécanique Em = E 2 , on atteint le cas limite de la situation précédente Em = E 3 : les deux trajectoires de phase ont un point commun en x = x
2 .
Il ne s’agit pas d’un point où le système a le choix entre les deux trajectoires :
lorsqu’il est sur une trajectoire (soit entre x 2 et x
2 autour de x 4 soit entre x
2 et x
2
autour de x 6 ), il y reste. Le point x = x
2 est un point d’arrêt. On appelle séparatrices
les deux trajectoires correspondant à cette situation : elles sont la limite des cas du
type Em = E 3 et des cas qui sont décrits après pour Em = E 1 . On notera que le
point d’arrêt correspond à la position d’équilibre instable.
• Pour une énergie mécanique Em = E 1 , on a une trajectoire libre entre x 1 et +∞
autour des trois positions d’équilibre x 4 , x
2 et x 6 .
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Suivant les conditions initiales et la valeur correspondante de l’énergie mécanique,
les trajectoires de phase ont différentes allures. On présente dans ce qui suit l’analyse
de quelques cas correspondant tous à une vitesse initiale nulle et différentes positions
initiales x 0 . On note Em l’énergie mécanique.
• Pour une énergie mécanique Em = E 6 , on a une seule position possible correspondant à une position d’équilibre stable, le point matériel ne bouge pas, la trajectoire
de phase se réduit au point d’abscisse x = x 6 de l’axe des abscisses.
• Pour une énergie mécanique Em = E 5 et une position initiale x 0 = x 5 , on a un
mouvement oscillatoire entre les points d’abscisse x 5 et x
5 autour de la position
d’équilibre x = x 6 , la trajectoire de phase est fermée et parcourue dans le sens des
aiguilles d’une montre. Le mouvement est périodique.
• Pour une énergie mécanique Em = E 4 , on distingue deux cas suivant la position
initiale :
◦ x 0 = x 4 : on est dans une situation analogue à celle du cas x 0 = x 6 et Em = E 6 ,
le point ne quitte pas sa position d’équilibre stable, la trajectoire de phase est le
point d’abscisse x = x 4 de l’axe des abscisses.
◦ x 0 = x
4 : on a un mouvement oscillatoire entre les points d’abscisse x
4 et x
4
autour de la position d’équilibre x = x 6 , la trajectoire de phase est fermée et
parcourue dans le sens des aiguilles d’une montre, le mouvement est périodique.
• Pour une énergie mécanique Em = E 3 , on a deux mouvements oscillatoires possibles sans qu’un passage de l’un à l’autre puisse avoir lieu : si x 0 = x 3 , le point
oscille entre les points d’abscisse x 3 et x
3 autour de la position d’équilibre x = x 4 et
si x 0 = x
3 , il oscille entre les points d’abscisse x
3 et x
3 autour de la position d’équilibre x = x 6 ; dans les deux cas, la trajectoire de phase est fermée et parcourue dans
le sens des aiguilles d’une montre, le mouvement est périodique.
• Pour une énergie mécanique Em = E 2 , on atteint le cas limite de la situation précédente Em = E 3 : les deux trajectoires de phase ont un point commun en x = x
2 .
Il ne s’agit pas d’un point où le système a le choix entre les deux trajectoires :
lorsqu’il est sur une trajectoire (soit entre x 2 et x
2 autour de x 4 soit entre x
2 et x
2
autour de x 6 ), il y reste. Le point x = x
2 est un point d’arrêt. On appelle séparatrices
les deux trajectoires correspondant à cette situation : elles sont la limite des cas du
type Em = E 3 et des cas qui sont décrits après pour Em = E 1 . On notera que le
point d’arrêt correspond à la position d’équilibre instable.
• Pour une énergie mécanique Em = E 1 , on a une trajectoire libre entre x 1 et +∞
autour des trois positions d’équilibre x 4 , x
2 et x 6 .
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