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Approche à l’aide des portraits de phase
6.5 Exemple de portrait de phase : la chute libre
x
v = ˙
x
Figure 6.6 Portrait de phase
de la chute libre.
On a vu que l’équation du mouvement
de la chute libre est ¨ x = −g et que, par
intégration, on a : v = ˙
x = −gt + v 0 et
x = −
1
2 gt
2 + v 0 t + x 0 . En éliminant t de ces
deux dernières relations, on obtient l’équation de la trajectoire de phase correspondant aux conditions initiales x(0) = x 0 et
v(0) = v 0 :
x = −
v
2
2g
+ x 0 +
v
2
0
2g
Les trajectoires de phase sont donc des paraboles d’axe Ox.
6.6 Portraits de phase des systèmes conservatifs
Comme il n’y a que des forces conservatives, l’énergie mécanique se conserve et on
peut écrire :
Ec + Ep(x) =
1
2
mv
2 + Ep(x) = Em = constante
Il s’agit bien de l’équation d’une trajectoire de phase puisqu’elle relie la position x et
la vitesse v = ˙
x. On en déduit que les trajectoires de phase sont des courbes isoénergétiques (c’est-à-dire ayant même énergie mécanique) pour un système conservatif.
Soit un système dont l’énergie potentielle a l’allure suivante :
U
E 1
E 2
E 3
E 4
E 5
E 6
x
x 1
x 2
x 3 x 4
x 5 x 6
x
2
x
3
x
4
x
5
x
3
x
4
x
3
x
2
Figure 6.7 Exemple d’énergie potentielle.
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