Chapitre 6 – Aspects énergétiques de la dynamique du point
Or
dv
dt
= f (x, v) par définition de l’équation du mouvement et
dx
dt
= v par définition
de la vitesse. On en déduit que
tan a =
f (x, v)
v
Or lorsque les trajectoires de phase coupent l’axe des abscisses Ox du plan de phase,
la vitesse v est nulle. On distingue alors deux cas :
• si f (x, v) = 0 alors tan a → ∞ et la tangente à la trajectoire de phase est une droite
parallèle à l’axe des ordonnées : la trajectoire de phase est perpendiculaire à l’axe
des abscisses,
• si f (x, v) = 0 alors tan a = 0 et on obtient une forme indéterminée pour tan a : on
ne peut conclure sur la valeur de cette quantité et on dit qu’on a un point singulier.
c) Positions d’équilibre dans le plan de phase
Les positions d’équilibre sont définies par :
v = ˙
x = 0
et
¨ x = ˙
v = 0
soit :
⎧
⎨
⎩
v = 0
f (x, v) = 0
ou
f (x, 0) = 0
Il s’agit des points de l’axe des abscisses où la vitesse est nulle ou encore des points
pour lesquels on obtenait une forme indéterminée au paragraphe précédent : les points
singuliers.
d) Non-croisement de deux trajectoires de phase
Deux trajectoires de phase correspondent à deux conditions initiales distinctes et ne
peuvent se couper en dehors de l’axe des abscisses que si elles sont confondues.
En effet, si on suppose que deux trajectoires de phase se coupent en un point M 0
qu’on peut considérer comme conditions initiales. L’unicité de la solution pour des
conditions initiales données prouve que les deux trajectoires sont confondues.
On remarquera cependant que deux trajectoires de phase peuvent se croiser en un
point singulier.
e) Trajectoire de phase et systèmes périodiques
Si la trajectoire se referme sur elle-même, on retrouve les conditions initiales et elle
se reproduit par la suite identique à elle-même. Le mouvement est périodique et le
temps de parcours de la trajectoire de phase est égal à la période du mouvement.
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Or
dv
dt
= f (x, v) par définition de l’équation du mouvement et
dx
dt
= v par définition
de la vitesse. On en déduit que
tan a =
f (x, v)
v
Or lorsque les trajectoires de phase coupent l’axe des abscisses Ox du plan de phase,
la vitesse v est nulle. On distingue alors deux cas :
• si f (x, v) = 0 alors tan a → ∞ et la tangente à la trajectoire de phase est une droite
parallèle à l’axe des ordonnées : la trajectoire de phase est perpendiculaire à l’axe
des abscisses,
• si f (x, v) = 0 alors tan a = 0 et on obtient une forme indéterminée pour tan a : on
ne peut conclure sur la valeur de cette quantité et on dit qu’on a un point singulier.
c) Positions d’équilibre dans le plan de phase
Les positions d’équilibre sont définies par :
v = ˙
x = 0
et
¨ x = ˙
v = 0
soit :
⎧
⎨
⎩
v = 0
f (x, v) = 0
ou
f (x, 0) = 0
Il s’agit des points de l’axe des abscisses où la vitesse est nulle ou encore des points
pour lesquels on obtenait une forme indéterminée au paragraphe précédent : les points
singuliers.
d) Non-croisement de deux trajectoires de phase
Deux trajectoires de phase correspondent à deux conditions initiales distinctes et ne
peuvent se couper en dehors de l’axe des abscisses que si elles sont confondues.
En effet, si on suppose que deux trajectoires de phase se coupent en un point M 0
qu’on peut considérer comme conditions initiales. L’unicité de la solution pour des
conditions initiales données prouve que les deux trajectoires sont confondues.
On remarquera cependant que deux trajectoires de phase peuvent se croiser en un
point singulier.
e) Trajectoire de phase et systèmes périodiques
Si la trajectoire se referme sur elle-même, on retrouve les conditions initiales et elle
se reproduit par la suite identique à elle-même. Le mouvement est périodique et le
temps de parcours de la trajectoire de phase est égal à la période du mouvement.
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