© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Approche à l’aide des portraits de phase
6.3 Portrait de phase
On appelle plan de phase le plan (x, v) où on porte les valeurs des positions en abscisse
et celles de la vitesse en ordonnées.
Dans le plan de phase, les conditions initiales, à savoir ici position initiale x 0 et
vitesse initiale v 0 , correspondent à un point M 0 de composantes (x 0 , v 0 ). La solution
unique de l’équation du mouvement correspondant à ces conditions initiales décrit
une courbe paramétrée par le temps (x(t), v(t)) : le point donnant l’état du système à
un instant t évolue au cours du temps. La courbe ainsi décrite est appelée trajectoire de
phase. Elle passe par le point représentant les conditions initiales M 0 .
Pour chaque couple de conditions initiales, on peut effectuer la même étude : on
obtient différentes courbes associées chacune à une condition initiale. L’ensemble des
courbes associées à l’équation du mouvement d’un système définit le portrait de phase
du système. Ce dernier sera donc obtenu en traçant les trajectoires de phase pour
plusieurs conditions initiales.
6.4 Propriétés des plans de phase
a) Sens de parcours des trajectoires de phase
x
v = ˙
x
Figure 6.5 Sens de parcours
des trajectoires de phase.
Les trajectoires de phase sont parcourues dans
le sens des aiguilles d’une montre.
En effet, dans le demi-plan supérieur où l’ordonnée est positive, la vitesse est positive. Or
la vitesse étant la dérivée de la position par rapport au temps, la fonction donnant la position
en fonction du temps x(t) est donc croissante.
Si x augmente alors on se déplace de gauche à
droite le long de la courbe.
Inversement, dans le demi-plan inférieur où
l’ordonnée est négative, la vitesse est négative
et la fonction donnant la position en fonction
du temps x(t) est donc décroissante. Si x diminue alors on se déplace de droite à
gauche le long de la courbe.
b) Intersection de l’axe Ox avec les trajectoires de phase
Lorsque la trajectoire de phase coupe l’axe des abscisses Ox, soit elle passe par un point
singulier (que l’on va définir) soit elle est perpendiculaire à l’axe Ox.
En effet, la tangente à la trajectoire de phase en un point (x, v) peut être définie
comme la droite passant par ce point et faisant un angle a avec l’axe Ox tel que
tan a =
dv
dx
=
dv
dt
dx
dt
157
Approche à l’aide des portraits de phase
6.3 Portrait de phase
On appelle plan de phase le plan (x, v) où on porte les valeurs des positions en abscisse
et celles de la vitesse en ordonnées.
Dans le plan de phase, les conditions initiales, à savoir ici position initiale x 0 et
vitesse initiale v 0 , correspondent à un point M 0 de composantes (x 0 , v 0 ). La solution
unique de l’équation du mouvement correspondant à ces conditions initiales décrit
une courbe paramétrée par le temps (x(t), v(t)) : le point donnant l’état du système à
un instant t évolue au cours du temps. La courbe ainsi décrite est appelée trajectoire de
phase. Elle passe par le point représentant les conditions initiales M 0 .
Pour chaque couple de conditions initiales, on peut effectuer la même étude : on
obtient différentes courbes associées chacune à une condition initiale. L’ensemble des
courbes associées à l’équation du mouvement d’un système définit le portrait de phase
du système. Ce dernier sera donc obtenu en traçant les trajectoires de phase pour
plusieurs conditions initiales.
6.4 Propriétés des plans de phase
a) Sens de parcours des trajectoires de phase
x
v = ˙
x
Figure 6.5 Sens de parcours
des trajectoires de phase.
Les trajectoires de phase sont parcourues dans
le sens des aiguilles d’une montre.
En effet, dans le demi-plan supérieur où l’ordonnée est positive, la vitesse est positive. Or
la vitesse étant la dérivée de la position par rapport au temps, la fonction donnant la position
en fonction du temps x(t) est donc croissante.
Si x augmente alors on se déplace de gauche à
droite le long de la courbe.
Inversement, dans le demi-plan inférieur où
l’ordonnée est négative, la vitesse est négative
et la fonction donnant la position en fonction
du temps x(t) est donc décroissante. Si x diminue alors on se déplace de droite à
gauche le long de la courbe.
b) Intersection de l’axe Ox avec les trajectoires de phase
Lorsque la trajectoire de phase coupe l’axe des abscisses Ox, soit elle passe par un point
singulier (que l’on va définir) soit elle est perpendiculaire à l’axe Ox.
En effet, la tangente à la trajectoire de phase en un point (x, v) peut être définie
comme la droite passant par ce point et faisant un angle a avec l’axe Ox tel que
tan a =
dv
dx
=
dv
dt
dx
dt
157