Chapitre 6 – Aspects énergétiques de la dynamique du point
Dans tous les cas, il est possible de mettre ces équations sous la forme :
¨ x = f ( ˙
x, x)
(6.2)
qui définit un système dynamique à deux degrés de liberté c’est-à-dire dont l’évolution dépend de deux paramètres : la position x et la vitesse ˙
x du système.
On peut noter qu’ici on travaille avec un problème unidimensionnel, ce qui permet
de n’avoir qu’une composante de la position et une composante de la vitesse. Il est
important de remarquer que la dimension du problème (ici un) est différente de la
notion de degrés de liberté qui donne le nombre de variables nécessaires pour décrire
la totalité du système (ici l’équation différentielle est du second ordre, il y a donc
deux degrés de liberté). Du fait de la dimension du problème, une seule composante
d’espace est nécessaire. Comme on a deux degrés de liberté, il faudra deux variables
pour décrire l’état du système soit par exemple la position et une de ses dérivées par
rapport au temps.
On peut remplacer l’équation différentielle (6.2) du second ordre à une variable par
le système de deux équations différentielles du premier ordre à deux variables :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
v =
dx
dt
dv
dt
= f (x, v)
ce qui permet d’avoir accès à la position x(t) et à la vitesse v(t).
6.2 Solution et conditions initiales
La donnée de conditions initiales (une position initiale x 0 et une vitesse initiale v 0 )
permet en général d’obtenir une solution unique aux équations précédentes. Il suffit
pour cela que la fonction f soit suffisamment régulière pour permettre les intégrations
nécessaires.
Une unique solution est obtenue pour chaque condition initiale qui se traduit par une
trajectoire. On a la connaissance complète du système : position, vitesse et accélération. Il s’agit de la traduction du déterminisme propre à la mécanique classique.
Exemple de la chute libre sans résistance de l’air avec vitesse initiale
La solution générale est :
x(t) = −
1
2
gt
2 + At + B
Les conditions initiales x(0) = x 0 et v(0) = ˙
x(0) = v 0 permettent d’obtenir A = v 0 et
B = x 0 . On a alors une solution unique :
x(t) = −
1
2
gt
2 + v 0 t + x 0
et
v(t) = −gt + v 0
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Dans tous les cas, il est possible de mettre ces équations sous la forme :
¨ x = f ( ˙
x, x)
(6.2)
qui définit un système dynamique à deux degrés de liberté c’est-à-dire dont l’évolution dépend de deux paramètres : la position x et la vitesse ˙
x du système.
On peut noter qu’ici on travaille avec un problème unidimensionnel, ce qui permet
de n’avoir qu’une composante de la position et une composante de la vitesse. Il est
important de remarquer que la dimension du problème (ici un) est différente de la
notion de degrés de liberté qui donne le nombre de variables nécessaires pour décrire
la totalité du système (ici l’équation différentielle est du second ordre, il y a donc
deux degrés de liberté). Du fait de la dimension du problème, une seule composante
d’espace est nécessaire. Comme on a deux degrés de liberté, il faudra deux variables
pour décrire l’état du système soit par exemple la position et une de ses dérivées par
rapport au temps.
On peut remplacer l’équation différentielle (6.2) du second ordre à une variable par
le système de deux équations différentielles du premier ordre à deux variables :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
v =
dx
dt
dv
dt
= f (x, v)
ce qui permet d’avoir accès à la position x(t) et à la vitesse v(t).
6.2 Solution et conditions initiales
La donnée de conditions initiales (une position initiale x 0 et une vitesse initiale v 0 )
permet en général d’obtenir une solution unique aux équations précédentes. Il suffit
pour cela que la fonction f soit suffisamment régulière pour permettre les intégrations
nécessaires.
Une unique solution est obtenue pour chaque condition initiale qui se traduit par une
trajectoire. On a la connaissance complète du système : position, vitesse et accélération. Il s’agit de la traduction du déterminisme propre à la mécanique classique.
Exemple de la chute libre sans résistance de l’air avec vitesse initiale
La solution générale est :
x(t) = −
1
2
gt
2 + At + B
Les conditions initiales x(0) = x 0 et v(0) = ˙
x(0) = v 0 permettent d’obtenir A = v 0 et
B = x 0 . On a alors une solution unique :
x(t) = −
1
2
gt
2 + v 0 t + x 0
et
v(t) = −gt + v 0
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