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Approche à l’aide des portraits de phase
On retrouve le même résultat pour un déplacement dx < 0 (il faut alors que
dF x (x = x 0 ) > 0). On en déduit qu’on aura un équilibre stable en x 0 si l’énergie
potentielle est minimale en x 0 .
A contrario, l’équilibre en x 0 sera instable si l’énergie potentielle est maximale
en x 0 .
Si
d
2 Ep
dx 2 = 0, on dit que l’équilibre est indifférent : le point peut ou non revenir à sa
position d’équilibre. Il faudrait étudier les dérivées d’ordre supérieur pour conclure.
instable
Ep
Ep
x
x
x 0
x 0
stable
Figure 6.4 Énergie potentielle et stabilité des positions d’équilibre.
6. Approche à l’aide des portraits de phase
L’objet de ce paragraphe est de présenter une représentation graphique appelée portrait
de phase qui permet l’analyse qualitative d’un système. On se limite aux systèmes à
un degré de liberté c’est-à-dire aux systèmes dont l’évolution est décrite par un seul
paramètre de position. Ce paramètre sera noté x dans la suite de l’exposé.
6.1 Définition
Dans les exemples étudiés précédemment, on a obtenu différents types d’équations du
mouvement :
• ¨ x = −g pour la chute libre d’un point matériel en l’absence de résistance de l’air,
• ¨ x +
k
m
˙
x = −g pour la chute libre d’un point matériel en tenant compte de la
résistance de l’air qu’on suppose proportionnelle à la vitesse,
• ¨ x +
k
m
x = 0 pour le mouvement d’une masse suspendue à un ressort dont l’autre
extrémité est fixe,
• etc.
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Approche à l’aide des portraits de phase
On retrouve le même résultat pour un déplacement dx < 0 (il faut alors que
dF x (x = x 0 ) > 0). On en déduit qu’on aura un équilibre stable en x 0 si l’énergie
potentielle est minimale en x 0 .
A contrario, l’équilibre en x 0 sera instable si l’énergie potentielle est maximale
en x 0 .
Si
d
2 Ep
dx 2 = 0, on dit que l’équilibre est indifférent : le point peut ou non revenir à sa
position d’équilibre. Il faudrait étudier les dérivées d’ordre supérieur pour conclure.
instable
Ep
Ep
x
x
x 0
x 0
stable
Figure 6.4 Énergie potentielle et stabilité des positions d’équilibre.
6. Approche à l’aide des portraits de phase
L’objet de ce paragraphe est de présenter une représentation graphique appelée portrait
de phase qui permet l’analyse qualitative d’un système. On se limite aux systèmes à
un degré de liberté c’est-à-dire aux systèmes dont l’évolution est décrite par un seul
paramètre de position. Ce paramètre sera noté x dans la suite de l’exposé.
6.1 Définition
Dans les exemples étudiés précédemment, on a obtenu différents types d’équations du
mouvement :
• ¨ x = −g pour la chute libre d’un point matériel en l’absence de résistance de l’air,
• ¨ x +
k
m
˙
x = −g pour la chute libre d’un point matériel en tenant compte de la
résistance de l’air qu’on suppose proportionnelle à la vitesse,
• ¨ x +
k
m
x = 0 pour le mouvement d’une masse suspendue à un ressort dont l’autre
extrémité est fixe,
• etc.
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