Chapitre 6 – Aspects énergétiques de la dynamique du point
Le travail des forces s’écrit :
dW =
− →
F · d
− − →
OM = F x dx = −dEp
donc :
F x = −
dEp
dx
La condition d’équilibre impose alors d’avoir :
dEp
dx
= 0
L’énergie potentielle passe par un extremum (minimum ou maximum) au(x) point(s)
d’équilibre.
5.5 Étude de la stabilité des équilibres
a) Définition
On dit qu’un équilibre est stable si quand on l’écarte de sa position d’équilibre, le
point matériel revient vers sa position d’équilibre initiale.
Un équilibre sera dit instable si le fait de l’écarter de sa position d’équilibre éloigne
définitivement le point de cette position.
b) Analyse de la stabilité pour les forces conservatives
Au voisinage d’une position d’équilibre x 0 , il est possible d’effectuer un développement limité de l’énergie potentielle à l’ordre 2 :
Ep(x) = Ep(x 0 ) +
dEp
dx
x=x0
(x − x 0 ) +
d
2 Ep
dx 2
x=x0
(x − x 0 )
2
2
Or x 0 est une position d’équilibre donc
dEp
dx
x=x0
= 0. Alors
Ep(x) = Ep(x 0 ) +
d
2 Ep
dx 2
x=x0
(x − x 0 )
2
2
On en déduit que le fait d’écarter légèrement de dx le point de sa position d’équilibre
consiste à exercer une force élémentaire dF x telle que
dF x = −
dEp
dx
(x = x 0 + dx) = −
d
2 Ep
dx 2
x=x0
dx
Si on exerce un déplacement dx > 0, il faut que dF x < 0 pour ramener le point à sa
position initiale. Cela impose donc :
d
2 Ep
dx 2 (x = x 0 ) > 0
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