Chapitre 6 – Aspects énergétiques de la dynamique du point
c) Force de rappel d’un ressort
Un ressort de raideur k ayant subi un allongement Dl = l − l 0 exerce une force de
rappel dans la direction de l’allongement (donnée par le vecteur unitaire − → u ext ) :
− →
f = −kDl − → u ext
Pour un déplacement le long de cette direction, on a : d
− − →
OM = dl − → u ext . Le calcul du
travail de cette force donne :
dW = −kDl − → u ext · dl − → u ext = −k (l − l 0 ) dl = −d
1
2
k (l − l 0 )
2
ce qui conduit à l’expression de l’énergie potentielle :
Ep =
1
2
k (l − l 0 )
2 + C
où C est une constante.
Si le déplacement a lieu selon une autre direction, on peut l’écrire :
d
− − →
OM = dl − → u ext + ld − → u ext
Or − → u ext est un vecteur unitaire soit − → u ext · − → u ext = 1 donc − → u ext · d − → u ext = 0. On en
déduit le travail élémentaire :
dW = −k (l − l 0 ) dl
On aura donc toujours la même expression de l’énergie potentielle élastique pour la
force de rappel du ressort :
Ep =
1
2
k (l − l 0 )
2 + C
3.4 Exemples de forces non conservatives
Si on considère une force de frottement fluide par exemple proportionnelle à la
vitesse, on a :
− →
f = −l − → v et le travail élémentaire de cette force s’écrit :
dW =
− →
f · d
− − →
OM = −l − → v · − → v dt = −lv
2 dt
On ne peut pas l’écrire sous la forme d’une différentielle : il ne s’agit donc pas d’une
force conservative.
On remarque que le travail est toujours négatif. Si la force était conservative, on pourrait
écrire :
W AB = Ep(A) − Ep(B) = −W BA
(6.1)
Comme ici le travail est toujours négatif, W AB < 0 et W BA < 0, la relation (6.1) ne peut donc
pas être vérifiée. La force n’est pas conservative.
150