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Théorème de l’énergie cinétique
scalaires. Lorsqu’on traite un problème à un degré de liberté c’est-à-dire dont la résolution ne concerne qu’une variable, cela ne pose aucune difficulté puisqu’une seule
équation suffit pour déterminer une seule variable. Par contre, si la situation nécessite
de connaître l’expression de deux variables ou plus, la seule utilisation du théorème
de l’énergie cinétique ne permettra pas la résolution complète du problème. On devra
alors recourir à des projections du principe fondamental de la dynamique sur des axes
différents pour compléter la formalisation énergétique.
On retiendra donc qu’une méthode énergétique est adaptée aux cas où un seul paramètre
de position suffit à décrire l’évolution du système à savoir aux systèmes à un degré de liberté.
2.5 Exemple d’étude d’un problème à l’aide du théorème de l’énergie
cinétique
− →
R
m
m − → g
u
O
− → u r
− → u u
Figure 6.2 Point matériel sur une
demi-sphère.
On considère une bille assimilée à un point matériel de masse
m pouvant se déplacer sans frottement sur une demi-sphère de
centre O et de rayon a. On
l’abandonne sans vitesse initiale
depuis le sommet de la sphère
et on cherche à déterminer les
conditions nécessaires pour que la
bille ne décolle pas.
1. Système : masse m.
2. Référentiel du laboratoire considéré comme galiléen.
3. Bilan des forces :
• poids m − → g
• réaction de la sphère perpendiculaire à la surface du fait de l’absence de frottement.
4. Résolution par le théorème de l’énergie cinétique.
On utilise les coordonnées polaires dans le plan vertical où a lieu le mouvement ; la
vitesse s’écrit : − → v = a ˙
u − → u u . L’énergie cinétique est :
Ec =
1
2
ma
2 ˙
u
2
La réaction, étant perpendiculaire au mouvement, ne travaille pas et le travail du poids
entre l’instant t = 0 et un instant t où la position du point ∩ est repérée par l’angle u
vaut :
W poids =
t
0
m − → g · − → v dt =
t
0
mga ˙
u sin udt =
u
0
mga sin udu = mga (1 − cos u)
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Théorème de l’énergie cinétique
scalaires. Lorsqu’on traite un problème à un degré de liberté c’est-à-dire dont la résolution ne concerne qu’une variable, cela ne pose aucune difficulté puisqu’une seule
équation suffit pour déterminer une seule variable. Par contre, si la situation nécessite
de connaître l’expression de deux variables ou plus, la seule utilisation du théorème
de l’énergie cinétique ne permettra pas la résolution complète du problème. On devra
alors recourir à des projections du principe fondamental de la dynamique sur des axes
différents pour compléter la formalisation énergétique.
On retiendra donc qu’une méthode énergétique est adaptée aux cas où un seul paramètre
de position suffit à décrire l’évolution du système à savoir aux systèmes à un degré de liberté.
2.5 Exemple d’étude d’un problème à l’aide du théorème de l’énergie
cinétique
− →
R
m
m − → g
u
O
− → u r
− → u u
Figure 6.2 Point matériel sur une
demi-sphère.
On considère une bille assimilée à un point matériel de masse
m pouvant se déplacer sans frottement sur une demi-sphère de
centre O et de rayon a. On
l’abandonne sans vitesse initiale
depuis le sommet de la sphère
et on cherche à déterminer les
conditions nécessaires pour que la
bille ne décolle pas.
1. Système : masse m.
2. Référentiel du laboratoire considéré comme galiléen.
3. Bilan des forces :
• poids m − → g
• réaction de la sphère perpendiculaire à la surface du fait de l’absence de frottement.
4. Résolution par le théorème de l’énergie cinétique.
On utilise les coordonnées polaires dans le plan vertical où a lieu le mouvement ; la
vitesse s’écrit : − → v = a ˙
u − → u u . L’énergie cinétique est :
Ec =
1
2
ma
2 ˙
u
2
La réaction, étant perpendiculaire au mouvement, ne travaille pas et le travail du poids
entre l’instant t = 0 et un instant t où la position du point ∩ est repérée par l’angle u
vaut :
W poids =
t
0
m − → g · − → v dt =
t
0
mga ˙
u sin udt =
u
0
mga sin udu = mga (1 − cos u)
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