Chapitre 5 – Principes de la dynamique newtonienne
1. Déplacement sur l’eau
a) On repère le déplacement de m 2 par la variable x de l’axe Ax (figure 5.18). Établir l’équation différentielle du mouvement de m 2 . On note T 2 la norme de la tension du câble.
b) On repère le déplacement de m 1 par la variable Y de l’axe CY parallèle à la ligne de plus
grande pente (figure 5.18). On note T 1 la norme de la tension du câble. Établir l’équation
différentielle du mouvement de m 1 .
c) Déterminer le lien entre ¨ x et ¨
Y dû à la poulie.
d) On admet que la poulie C impose une relation entre les tensions :
T 2 r 2 − T 1 r 1 + G = 0
G étant une grandeur positive constante modélisant l’action d’un frein sur la poulie. Déduire
des calculs précédents, l’équation différentielle en ˙
x en fonction de m 1 , M = m 2 + m 1
r 1
r 2
2
,
G, k, g et sin a.
e) Montrer l’existence d’une vitesse limite v L et d’une constante de temps t. Donner leurs
expressions littérales et leurs valeurs numériques (on prendra G = 680 N.m).
f) Déterminer l’expression de ˙
x(t) sachant qu’à t = 0, les troncs sont en A et sans vitesse
initiale. Évaluer l’ordre de grandeur du temps au bout duquel la vitesse limite est atteinte.
g) Déterminer l’expression complète x(t).
h) Calculer le temps t 2 nécessaire aux troncs pour traverser le lac à vitesse constante v L .
Justifier que le temps réel de parcours sur le lac de A à B pourra être assimilé à t 2 .
2. Déplacement sur le sol
Après leur sortie du lac en B, les arbres se déplacent sur le sol. Ils sont alors soumis à un frottement solide. On rappelle que les normes de la composante tangentielle
− →
R t et de la composante
normale
− →
R n de la réaction du sol sont reliées par la relation R t = fR n , f étant le coefficient de
frottement, ici égal à 0,2, R n et R t les normes de
− →
R n et
− →
R t . On n’exerce alors plus de freinage
sur m 1 (G = 0).
a) Établir la nouvelle équation différentielle du second ordre en x en fonction de m 1 , m 2 , f ,
M, g et sin a.
b) Calculer l’accélération ¨ x et en déduire le mouvement de m 2 .
c) Calculer l’accélération ¨
Y de m 1 .
d) Montrer que la vitesse de m 2 s’annule en un point noté E 2 . Quelle est alors la distance d 2
parcourue sur le sol de B à E 2 ?
e) Préciser la position de m 1 sur le plan incliné par rapport au point d’arrivée D.
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1. Déplacement sur l’eau
a) On repère le déplacement de m 2 par la variable x de l’axe Ax (figure 5.18). Établir l’équation différentielle du mouvement de m 2 . On note T 2 la norme de la tension du câble.
b) On repère le déplacement de m 1 par la variable Y de l’axe CY parallèle à la ligne de plus
grande pente (figure 5.18). On note T 1 la norme de la tension du câble. Établir l’équation
différentielle du mouvement de m 1 .
c) Déterminer le lien entre ¨ x et ¨
Y dû à la poulie.
d) On admet que la poulie C impose une relation entre les tensions :
T 2 r 2 − T 1 r 1 + G = 0
G étant une grandeur positive constante modélisant l’action d’un frein sur la poulie. Déduire
des calculs précédents, l’équation différentielle en ˙
x en fonction de m 1 , M = m 2 + m 1
r 1
r 2
2
,
G, k, g et sin a.
e) Montrer l’existence d’une vitesse limite v L et d’une constante de temps t. Donner leurs
expressions littérales et leurs valeurs numériques (on prendra G = 680 N.m).
f) Déterminer l’expression de ˙
x(t) sachant qu’à t = 0, les troncs sont en A et sans vitesse
initiale. Évaluer l’ordre de grandeur du temps au bout duquel la vitesse limite est atteinte.
g) Déterminer l’expression complète x(t).
h) Calculer le temps t 2 nécessaire aux troncs pour traverser le lac à vitesse constante v L .
Justifier que le temps réel de parcours sur le lac de A à B pourra être assimilé à t 2 .
2. Déplacement sur le sol
Après leur sortie du lac en B, les arbres se déplacent sur le sol. Ils sont alors soumis à un frottement solide. On rappelle que les normes de la composante tangentielle
− →
R t et de la composante
normale
− →
R n de la réaction du sol sont reliées par la relation R t = fR n , f étant le coefficient de
frottement, ici égal à 0,2, R n et R t les normes de
− →
R n et
− →
R t . On n’exerce alors plus de freinage
sur m 1 (G = 0).
a) Établir la nouvelle équation différentielle du second ordre en x en fonction de m 1 , m 2 , f ,
M, g et sin a.
b) Calculer l’accélération ¨ x et en déduire le mouvement de m 2 .
c) Calculer l’accélération ¨
Y de m 1 .
d) Montrer que la vitesse de m 2 s’annule en un point noté E 2 . Quelle est alors la distance d 2
parcourue sur le sol de B à E 2 ?
e) Préciser la position de m 1 sur le plan incliné par rapport au point d’arrivée D.
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